Considérons maintenant une équation où n'entrent
ni X ni j , mais seulement deux dérivées consécutives d'ordre quelconque :
(inr-^ Y { dp\
On posera --7-— = p, et il viendra F ( p, ^ j = o-, d'où
Ton tirera
dx=f{p)dp et x=f/{p)dp-hC = ^{p).
Si l'on peut résoudre cette équation par rapport à p, on
connaîtra en fonction de x. et par une suite de qua-
djc^^
dratures on parviendra à avoir j)^ en fonction de a: et de w constantes arbitraires. Si l'on ne peut la résoudre, on obtiendra j en fonction de p de la manière suivante.
L'équation ^^^ = p donne
g^ = fpdx = Spf(p)dp + C';
intégrant toujours par rapport à x^ et remplaçant dx par /(p) ^P ^^^® ''^ second membre , on parviendra , par une suite de quadratures , ày = (j/ (p).
Éliminant p entre cette équation elx = (f (p), on aura une équation entre y^ x et n constantes arbitraires, qui sera l'intégrale générale dé la proposée.
60. Si par exemple on demandait la courbe dont le rayon de courbure est égal à une constante a , il faudrait intégrer l'équation
dx
d'y dx'
8o COURS d'aNALITSE;
fty
ou , en posant — - = /;, d'où
dx-=L i- — j, et jr = -p=^=. 4- C.
(X H-^f VI +/>'
On pourrait résoudre cette équation par rapport à p, mais il sera plus simple d'exprimer y en fonction de p 5 on aura
Connaissant ainsi deux intégrales premières de la proposée, il suffira d'éliminer p entre elles pour obtenir l'intégrale générale , qui sera
équation d'un cercle ayant a pour rayon , et le centre au point arbitraire dont les coordonnées sont C , Ci .
61 . Considérons encore le cas où les ordres des deux dérivées auraient une différence de deux unités
posant ^^ = p, il vient
multipliant par a^p et intégrant, il vient
SECONDE PARTIE* 8l
doù
(p(p) renfermant deux constantes arbitraires.
Si Ton peut résoudre cette équation par rapport à p, on connaîtra j^ par n — 2 quadratures, qui introduiront tï— 2 nouvelles constantes arbitraires; sinon, on obtiendra j^ en fonction de p, en intégrant n — 2 fois l'équation
— -~ = p, après avoir multiplié à chaque fois le premier
membre par dx^ et le second par son égal (f (p) dp. L'expression de y renfermera ainsi n ^ 2 constantes arbitraires , et l'élimination de p entre les deux équations qui donnent x et y conduira à une équation entre x^ y eln constantes , qui sera l'intégrale générale de Féquation prO" posée.
