Les équations linéaires de la forme suivante
djf ax-\-b daf^'^ ''' (ax-hby d^-^
IJjr __
^6 cou&s d'analyse.
s'intègrent généralement en posant y = {ax-^-by. On trouve ) en substituant ,
a(a-i).,.(a-/fi-hi)a"'-HAa(a — i)...(a — //iH-2)a'*~'-f-...H-U=o.
Cette équation donne pour a, m valeurs a,, as,..., a,„3 et si l'on désigne par Ci , Cs, . . . , c^ des constantes arbitraires , l'intégrale générale sera
j^ = c, [ax -f- *)"' -f- c, (flx 4- hf-^ -h ... 4- c« («X -h ^)«'".
Le cas où l'équation en a aurait des racines imaginaires ou égales se traiterait comme dans les questions précédentes.
57. Lorsque Ton connaît l'intégrale générale d'une équation quelconque de l'ordre m
ou,en posant— =/,..., -j^=y^'-\
on peut former une équation linéaire de Tordre m, à coefficients variables, dont l'intégrale générale sera exprimable immédiatement .
Soit, en effet,
l'intégrale de l'équation (i) renfermant m constantes a, i,..., /. Si l'on substitue cette .valeur et celles que prennent par suite 7',/", etc., l'équation (i) deviendra identique, quels que soient .r, a, ^v-i ^' ^^ doue onladifférentie , après cela , par rapport à l'une des constantes , a par exempb*, lo résultat sera nncorc une identité en
SKCONOB PARTIK. 'J'J
o:, fl, i,..., /. On trouvera ainsi ^^ dPd^^dpdir~^ df'^da "^ ••"^r/j('«)"Sr'~°'
et cette équation sera identique en :r, a, è,..., /, si l'on
remet , au lieu dey et de ses dérivées j les valeurs données
par Téquation (2).
dy Posons maintenant -^ = u.\l s'ensuivra
da
dyi da dy" d^u ^W d'^u
da dx da dx^ da djf^
puisque x et a sont indépendants.
L'équation (3) devient alors
d¥ dF du dF d'^u __
Si maintenant on exprime tous les coefficients -7-, • • • >
dy' dfC^)
au moyen dei:, a, i,."?' d'après récjuation (a), on aura une équation linéaire de l'ordre m à coefficients variables dont on connaîtra une intégrale qui ne sera autre chose
que . yv 9 y >"•> ) ^ Si l'on avait différentié l'équation (i)
par rapport à l'une quelconque des autres constantes b^,,,^ l^ on serait arrivé à la même équation (4), dans laquelle u aurait représenté la dérivée partielle de 9(07, a^ bj...^ l) par rapport à ces diverses constantes. On formera donc , de cette manière , m intégrales particulières de l'équation (4)vet9 en les multipliant par des constantes arbitraires Â, B,..., L, leur somme donnera l'iatégrale générale de cette équation ^ son expression sera
da do dl
Si Ton ne connaissait qu'une intégrale particulière de ^ Téquation (1) renfermant moins de m constantes, on en déduirait une intégrale particulière pour Téquation (4) avec un même nombre de constantes.
On remarquera que si l'équation (i) était linéaire, réquation(4) aurait les mêmes coefficients, et même ne renfermerait pas de terme indépendant de la fonction u ^ elle rentrerait donc dans la première , et Ton ne parviendrait à rien de nouveau.
Transformations propres à abaisser l'ordre des
équations.
58. Toute équation linéaire de Tordre m peut s^abaisser à Tordre m — i , en posant
En effet , on aura*
y = ef'^.
eix dx^ dx
substituant dans la proposée , le facteur e*' ^ disparaîtra , et Téquation sera de Tordre m — i en (; mais elle ne sera plus linéaire.
Soit , par exemple ,
on obtiendra
dx
