Si Téqualion

dY d^ Y était homogène par rapport aux quantités j, -^j —-tL,...,

on pourrait abaisser son ordre d'une unité.

En eiTet, en divisant par une puissance convenable <iej^ on lui donnera la fprme

ç^ d^ , dx dx^ .

On posera ensuite -j- = jf, ce qui revient à poser

d^Y / dt

dx'' ^ \dx^

^ = e-^^ . 11 en résultera

jr sera facteur dans toutes ces dérivées , et l'équation cidessus deviendra , par ces substitutions, une équation de l'ordre m — i entre x et t,

64. Lorsqu'on donne l'équation d'une courbe, renfermant l'arc 5, et qu'on cherche celle qui aurait lieu entre x ely seulement , il faut différentier l'équation donnée, remplacer ds par ^dx* -\- dy*^ et éliminer s entre cette équation et la première^ on aura ainsi une équation

diâërentielle entre x ety seulement. Si Téquation donnée peut être résolue par rapport à 5, il n'y a aucune élimination à faire après la différentiation.

Soit, par exemple, s^ = ay^ d'où l'on tire

JL JL 5 =: «'7'

Diflerentîant, il vient

Ty = -^ ^ ^ = V

on tire de là

dx / a

équation d'une cycloïde rapportée a son sommet , et engendrée par un cercle dont le rayon est h- Si Ton donnait une équation de la forme

on poserait

%=P. d'où s = Y[p\

On obtiendra par la différentiation

ds d'où l'on tire

dy = pdx = ■