FIN DE LA TABLE OR LA DEUXIEMIS PARTIE

COURS

DK

Des intégrales des équations différentielles d'ordre

quelconque,

\. Intégrer une équation dillérentielle entre deux variables X et j", c'est trouver toutes les valeurs de y en fonction de x qui y satisfont; ou, en d'autres termes, c'est trouver une équation entre x et y qui soit une conséquence de la proposée, et réciproquement, dont celle-ci soit une conséquence.

Sous le point de vue géométrique, c'est trouver toutes les courbes dont les coordonnées et leurs rapports dijfférentiels des divers ordres satisfont à cette équation.

Considérons l'équation générale de Tordre m , c'est-àdire celle où m est l'indice de la dérivée de l'ordre le plus élevé qui y entre , quelles que soient d'ailleurs les puissances dont ces dérivées soient affectées^ Soit cette équation

^ / dy f^^y d'^y\

^ ' \^ - ' dx dx^ dx"'/

COU&S n AlfALYSK.

ii "* y , iiy d^" * Y

Elle détermine -~~ en fonction de j:, 7S -~ v • 5 -1 — - > et

si on la diifërentie successivement, les rapports dliféren-

tiels • , *: ■ 9 -^ — ■—") etc., seront détermines en fonction

des mêmes quantités.

Toute fonction de x peut , en général , ètrç développée en série , au moyen des théorèmes de Taylor, de Maclaurin, ou de Bernoulli. Le premier est moins sujet aux exceptions parce qu'on peut choisir la valeur de x qui entre dans les coefficients , de telle sorte qu'aucun d'eux ne devienne infini. Dans ce cas, la série sera nécessairement convergente , pour toutes les valeurs de x comprises entre certaines limites déterminées , et quelquefois même pour toute valeur de x.

Soit donc^ la valeur la plus générale qui satisfasse à l'équation (i). Si on la suppose développable d'après la formule de Maclauriu , on aura

et si l'on remplace tous les coefficients à partir de celui de x^^ par leurs valeurs en fonction des précédents, déterminées comme nous l'avons dit , la fonction cherchée sera nécessairement comprise dans celles que représente ce développement, puisque l'on n'aura exprimé que des conditions auxquelles elle doit satisfaire. Et réciproquement, la fonction ainsi déterminée satisfait nécessairement à l'équation différentielle; car, si l'on différentie m fois les deux membres de l'équation (i), on obtient précisément le développement de l'équation (i) résolue par

^-apport a — .

SF.CONUK PARTIK.

LVqualion (2) donnerait donc la solution complète de la question, si toutes les valeurs de j étaient développables de cette manière. Mais., dans tous les cas, il ne peut manquer que celles pour lesquelles certains coefficients différentiels cesseraient d'être finis et déterminés , pour la valeur particulière x = o.

2. Si Ton avait développé, d'après le théorème de Taylor, suivant les puissances de a: — a:©, on aurait eu comme conséquence de l'équation ( i )

les coefficients étant toujours déterminés à partir de Tordre m, au moyen de l'équation (1) et se rapportant à x = a:o5 et réciproquement, l'équation (i) se déduirait de celle-ci par m différentia lions successives.

La valeur arbitraire x^^ pourrait bien être choisie de manière à ce qu'aucun coefficient de la série ne devînt infini , si ces coefficients ne dépendaient que de x^^ -, mais comme ils renferment encore la valeur correspondante de y et de ses dérivées, il pourra arriver qu'une certaine fonction j- = ç (x), tout en satisfaisant à l'équation différentielle, rende infinis ou indéternoinés certains coefficients du développement , quel que soitXo 5 nous en donnerons bientôt un exemple.

On voit par là que les formules (2) et (3) peuvent ne pas renfermer toutes les fonctions qui satisfont à l'équation (i). H est inutile de dire que ces deux formules coïncident lorsque toutes les solutions sont développables au moyen de l'une et de l'autre, puisqu'elles représentent alors identiquement les mêmes fonctions. Dans les limites où elles sont suffisamment convergentes, elles peuvent

4 COURS d^anal^sf.

servir à donner, par approximation , la valeur de la fonction cherchée. On donne le nom à*intégrale générale de l'équation (i) à Téquation (3), dont l'équation (ti) n*est qu'un cas particulier correspondant à j?© == o.

Ij'équation (3) satisfaisant à Téquation proposée, quelles que soient les valeurs des m premiers coefficients j^o,

/ ^ j , . . . , f -^ J , puisqu'ils disparaissent au moyen des

m différentiations qui conduisent de l'équation (3) a la proposée 5 nous en conclurons que r intégrale générale d'une équation différentielle de l'ordre m renferme nécessairement m constantes arbitraires qui sont les valeurs de la fonction et de ses m — l premières dérivées correspondantes à une valeur de x prise à volonté.

3. 11 est facile de démontrer réciproquement que toute équation entre a: et ;^ qui satisfera à Téquation diiférentielle , et renfermera m constantes arbitraires , est identique avec l'intégrale générale représentée par le développement (3). En effet, si Ton conçoit qu'on développe, suivant les puissances de j*, la valeur de y donnée par cette équation , les m premiers coefiBcients renfermeront .r© et les m constantes arbitraires et pourront prendre toutes les valeurs possibles, en choisissant convenablement ces constantes, quelle que soit d'ailleurs la valeur qu'on prenne pour x^ , ils peuvent donc être regardés comme entièrement arbitraires; et comme les suivants en dépendent d'après l'équation (i), le développement ne différera pas de celui que donne l'équation (3). D'où résulte cette importante proposition, que toute équation entre x et y qui satisfait à une équation différentielle de l'ordre m, en est l'intégrale générale lorsqu'elle renferme m constantes arbitraires, au moyen desquelles il soit possible de donner des valeurs arbitraires à la fonc-

lion et à ses. m — i premières dérivées, pour une certaine valeur de x.

4. La dernière condition exprimée dans cette proposition est indispensable parce qu'une équation peut renfermer m constantes , susceptibles d'être réduites à un moindre nombre par des transformations. Ainsi ^ lorsqu'on voudra s'assurer si cette équation constitue l'intégrale générale, il faudra la différentier m — i fois, et chercher si Ton peut donner aux m constantes des valeurs telles, que pour une valeur donnée de x on en puisse tirer des valeurs arbitraires de y et de ses m — i premières dérivées. Et pour cela il suffira de reconnaître si les m équations peuvent être résolues par rapport aux m constantes, sans qu'il en résulte aucune absurdité: car alors pour une valeur quelconque de a:, on pourra choisir arbitrairement j^ et ses m — i premières dérivées.

Si par exemple on avait trouvé qu'une équation du second ordre fût satisfaite par la valeur

C, C étant des constantes arbitraires , on en tirerait

dx

or, quelque valeur finie que Ton donne à .r, ces deux équations donnent des valeurs finies pour C et C, si Ton n'a pas a = a'. D'où il suit que , si a' est différent de a , la valeur trouvée dey est l'intégrale générale.

Si l'on avait obtenu une solution de celte forme

y •=: Q sin ax -f- C/ ces ax, on en déduirait

dy

-f- =: rtC QO^ax — rïC sin^rx;

dx

d'où Ton tirerait toujours des valeurs finies pour C et C, pourvu que a ne fût pas nul^ la valeur de y serait donc encore Fintégrale générale.

Il en sera de même pour une expression de la forme

X =zC ^m{x -h a) 4- C' sin(a; -h a ');

si on la différentie , et qu'on prenne , pour plus de simplicité , jJo = o , on trouve

j, =rz C sin a -|- C sin «', -~-J = Ccosfl 4- C'cosfl',

et l'on tirera de là des valeurs finies pour C et C, si Ton n'a pas

sino cos a ' — sina' ces a = o , ou

a' ::= WZSZnir

n étant un nombre entier. La valeur dey sera donc l'intégrale générale , excepté dans. ce cas particulier.

Mais si l'on trouvait pour solution d une équation du troisième ordre

jr = C sin(:p -+- fl) 4- C sin (x 4- a') H- C" sin(a? -h a" ),

en difFérentîant deux fois , puis faisant a: = o , on aurait

7o = C sina -f- C sin fl' +■ C sina",

-^ ) = C cos« H- C cosfl ' 4- C" cos a'\ /^\ =:Csinfl4-C'sin«'4-C"sinfl".

Or, la première et la troisième de ces dernières équations étant incompatibles , si l'on laisse jo et 1 -~^ \ indépendants Tun de Fautre, on voit qu'il est impossible de dé-

SBGONOE PARTIE. 'J

terminer les trois constantes de manière que j" et ses deux premières dérivées aient des valeurs quelconques pour x=o: donc la valeur dey n'est pas Tintégrale générale, et il est facile de voir dans cet exemple que les constantes pouvaient être réduites à deux ; car, en développant les sinus, on trouve

X = {Ccosa -\- C cosa' -^ C" cosa")sinai

(C sina -f- C sina' -f- C" sina") cosx,

et la valeur de j* ne renferme réellement que deux constantes arbitraires, qui sont les coefficients de sinx et ces a:.

5. Lorsque dans l'intégrale générale d'une équation on donne des valeurs particulières à une ou plusieurs des constantes arbitraires qu'elle renferme , cette solution se nomme une intégrale particulière.

Lorsqu'on satisfait à une équation différentielle au moyen d'une équation qui n'est pas renfermée dans l'intégrale générale , on a ce que l'on appelle une solution singulière, ou une intégrale singulière.

Il faut alors, comme nous l'avons déjà remarqué, que des coefficients du développement (3) deviennent infinis, ou indéterminés quel que soit Xq , et par conséquent lorsqu'on le remplace par la variable x. Et comme ces coefficients ne renferment que des dérivées d'ordre inférieur à /7i, il en résulte que la valeur y = (f (x), qui constitue une solution singulière d'une équation différentielle de Tordi^e m , doit satisfaire en même temps à cette équation et à une autre équation différentielle, d'un ordre inférieur, dans laquelle il n'entre aucune constante arbitraire. Si par exemple l'équation proposée est du premier ordre , les solutions singulières ne pourront être données que par des équations entre x et y sans constante arbitraire; et, par conséquent, une solution renfermant «ne

8 cocas n^ANALTSB.

constante arbitraire ne pourra être que I^intégrale générale.

Mais si l'équation proposée était dW ordre supérieur au premier, la solution singulière serait , en général, une équation différentielle, d'un ordre inférieur d'une unité, qui donnerait une intégrale renfermant des constantes arbitraires. On voit donc que les solutions singulières des équations différentielles de Tordre m peuvent être données par des équations entre x^j et m — i constantes au plus. On ne peut donc toujours conclure de la présence de constantes arbitraires , qu'une solution est une intégrale particulière et non une solution singulière.

6. Nous allons maintenant donner un exemple du cas annoncé dans le n^ 2. Considérons l'équation différentielle

On en tire par des différentiations successives

et Ton trouvera , en employant la formule (2),

On reconnaît facilement qu'en posant

cette équation se réduit à

SECONDE PAETIE. g

et cette valeur se trouverait directement, en posant dans l'équation proposée j' — j:= z , ce qui la réduit à

dz i

d'où

Z ^ dz ^=^^^ dx\

intégrant les deux membres, et ajoutant une constante arbitraire c à Ttui d'eux, on aura

y Z ZIZ C "-~ JTj

d'où

Cette équation donne identiquement les mêmes solutions qne la proposée, pourvu qu'il ait été permis de diviser

parz^ ce qui exige que ^ ou j* — a: ne soit pas zéro. Si àoncy — x = o ne peut satisfaire à la proposée, l'équation (a) en donnera toutes les solutions -, mais si^ — xz=.o y satisfaisait, il y aurait des solutions qui pourraient ne pas être renfermées dans l'équation (a)^ et, en eûet, j — a: = o ne satisfait pas à cette dernière , quelque valeur que Ton donne à la constante arbitraire, et satisfait cependant à la proposée. Elle est donc ce que nous avons nommé solution singulière.

Cette solution n'étant pas renfermée dans l'intégrale générale, voyons ce que deviennent les coefficients du développement le plus général de y, donné par la formule (3).

Or il est évident que, si l'on fait j^ = x, tous les coeffi-

cients différentiels, à partir de -j-^t deviennent infinis; et si Ton n*avaitpas supprimé le facteur commun {y-^'^Y

ettmaamlit Aiiairaiic ne poarrs être ^ar I ïniégraJe gé-

Mût s r«i;vAt»:« prVijHMÂ «uîl d~aB onJxv sopériear

«putMBi^âcrcBDàMr.d'KB ordr« înimmr d'une miité,

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On ix-<\>nttaii faoilri

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et cette valenr se trouvait directeiMctit , en po&ani l 'éqnation [woposée j» — x ^ z , ce «pi U rédoil à

inti^ruit ïesdeox membres, et ajoaiani ■ arliitraîre c à l'iui d'eux, on «ira

Cette équatiiHi donne îdentiffiiannit les mêmes scJalioos «jne U proposée, poorvo qu'il ait été permis de àirîser

farz' ce ^li exige que z ou r — i ne soîl pu m». S~ donc t' — X^o nepeat satisfaire à la proposer, fn^a^t:tion (a) en donnera toutes les solalions ; mais à > —.1=1. j satisfaisait, il y aurait des solutions ^in'^vvnitac n:

lO COURS UANALTSK.

aux deux termes de la valeur de-r-^, elle se serait présentée sous la forme |.

Cet exemple montre qu'il peut arriver, comme nous l'avions annoncé précédemment , qu'une valeur de^ eu x satisfaisant à une équation différentielle, et développable suivant les puissances de x, ne donne cependant pas un développement possible en partant de Féquatiou différentielle proposée , et que , par conséquent , on ne peut répondre que l'intégrale, dite générale, renferme toutes les solutions de Téquation proposée ; ou , eu d'autres termes , qu'il n'existe pas de solutions singulières.

7. S'il arrive que l'une des équations obtenues par la différentiation de la proposée soit décomposablc en deux facteurs dont l'un soit d'un ordre inférieur à l'autre, et qu on égale à zéro celui de l'ordre le moins élevé, on obtient une équation de plus entre les dérivées déjà considérées ; il y aura, par conséquent, une arbitraire de moins dans ce développement de j", qui , en général, ne sera pas compris dans l'autre développement qui renferme m constantes arbitraires.

Considérons comme exemple l'équation

On trouve , en la diiférentiant ,

\ dx

dx"

En considérant le facteur du second ordre, on aura, par des différentiations successives,

Téquation (i) donnera en conséquence , par le développe-

SECONDE PARJIE. I I

ment de Maclaurin ,

r = r* -+- -^ v(ro.

En considérant maintenant le facteur du premier ordre, on trouve

dy X d^y , d^y

dx 2' dx^ " dx^

Observons maintenant quey© n'est plus arbitraire parce

dy , .

qu'on a deux équations entre jr, j^ et — , et qu'on en tire

pour

Ou a donc , pour y, la valeur suivante sans constante arbitraire,

laquelle n'est pas comprise dans l'intégrale qui renferme une constante arbitraire, et, par conséquent, est une solution singulière.

Des équations différentielles d'une équation à deux • variables.

8. Si l'on considère une équation à deux variables F(x,jr) = o et qu'on en déduise d'une manière queU conque une autre équation qui renferme x, y et des dérivées de y par rapport à x, cette dernière est ce qu'on ap-* pelle une équation différentielle de la première. Elle est une conséquence de cette équation , mais celle-ci n'en est pas toujours une conséquence nécessaire. Ainsi, nous avons vu qu'une fonction de x n'a qu'une dérivée 5 tandis qu'une dérivée peut correspondre à une infinité d'intégrales, qui difièrent par la valeur d'une constante.

Si entre l'équation primitive et celle que l'on obtient

12 COURS D^AKALYSE.

en diflerentiant une fois ses deux membres , on élimine une constante a, on aura une certaine équation diiférentielle du premier ordre de la proposée. Et généralement, si Ton dîfférentie m fois la: proposée, on pourra éliminer m quelconques des constantes qui y entrent , et l'on obtiendra ainsi une équation différentielle de Tordre /w de l'équation primitive, qui renfermera m constantes de moins qu'elle. On aurait une équation différente, du même ordre, si Ton éliminait entre les mêmes équations m autres constantes.

On doit même observer que toute équation différentielle peut être considérée comme obtenue de celte manière; car nous avons démontré que, si elle est de Tordre m, son intégrale générale renferme m constantes arbitraires qui ne sont pas dans Téquation diffi^rentielle. Donc celle-ci n'a pu être déduite de Tautre qu'en éliminant ces constantes entre elle et celles que Ton en aura tirées au moyen de m différentiations successives.

Mais ces différentiations peuvent être faîtes de bien des manières différentes :

Si par exemple on ne veut éliminer qu'une constante , on pourra différentier Téquation après Tavoîr mise préalablement sous telle forme que Ton voudra ; on aura ainsi diverses équations du premier ordre , et Ton éliminera la constante entre Tune quelconque d'entre elles et Téquation proposée.

Si Ton veut éliminer deux constantes , on pourra différentier deux fois de suite Téquation mise sous une forme arbitraire ; on aura ainsi trois équations renfermant les deux quantités à éliminer. Ou bien encore on éliminera d'abord Tune d'elles entre l'équation proposée et celle du premier ordre qu'on en déduira; puis, traitant de même Téquation ainsi obtenue, on en éliminera la seconde constante.

SECONDE PAIlTIfi. l3

Les combinaisons seraient plus multipliées encore s'il s^agissâit d'éliminer un plus grand nombre de constantes. Or nous allons démontrer que , de quelque manière que cette élimination ait été faite, on obtient toujours la

même équation entre a:, j', —5 etc., et les constantes non

éliminées.

Supposons en effet, s'il est possible, que Ton parvienne ainsi à deux équations différentes, en éliminant les mêmes constantes en nombre m, et soient ces deux

équations , résolues par rapport a -7-^ 9

D'après ce qui a été démontré, ^ l'on déduit de l'une ou de l'autre une équation entre x, y et m constantes arbitraires, on obtiendra l'équation même d'où elles ont été tirées, et, par conséquent, on aura des résultats identiques. Si donc on les ordonne par rapport aux puissances de X — Xo, les coefficients des différentes puissances seront respectivement égaux , en supposant toutefois que les con-

stantesj^o? ( ^ ) ' * ' • M ^^^, ) ? correspondantes à la même

valeur Xo , soient les mêmes de part et d'autre.

Or les développements auront respectivement pour

coefficients de ^ ? les deux expressions

]4 couns d'analysk.

11 faut donc que, quel que soit To, ces deux fonctions

soient égales, pour toutes les valeurs données arbitraire-

ment, aux quantités j^o^ iH^j vj ( ^^ - ) ' et aux constantes non élîmine'es, qui sont les mêmes de part et d'autre 5 par conséquent, toutes ces diverses quantités doivent y entrer d'une manière identique. Mais elles y

entrent de la même manière crue x, r, -—9 • • • ? -, — -j et

^ ^^ " dx daf^^

les constantes non éliminées entrent dans les deux expres-

sions de -j-^ \ donc ces deux expressions sont identiques,

et les deux équations différentielles , résolues par rapport d^y

à -y-^ 9 le sont par conséquent *, d'où se déduit cette impor-

tante proposition:

De quelque manière que Von parvienne à une équation différentielle de V ordre nij en partant d^une même équation entre x et y y et éliminant les mêmes constantes en nombre m, on ne peut obtenir qu une seule et même équation,