Cette proposition donne lieu à quelques remarques utiles

En effet, parmi toutes les manières d'opérer ce calcul , choisissons en particulier la suivante :

Eliminons d'abord l'une des constantes entre l'équation proposée et sa première dérivée. Eliminons de même une seconde constante entre l'équation obtenue et sa dérivée*, puis une troisième constante entre la nouvelle équation ainsi obtenue et sa dérivée, et ainsi de suite jusqu'à ce que les m constantes désignées aient disparu. Nous aurons ainsi l'équation cherchée du w'*'"* ordre 5 et, par les raisons déjà données, celte équation , et même toutes les intermédiaires , seront identiques à celles que l'on obtiendrait par d'autres procédés, en éliminant les

mêmes constantes. Mais Tordre dans lequel on élimine les m constantes détermine les équations intermédiaires ^ et autant on peut faire de combinaisons n k n avec m lettres, autant on pourra obtenir d'équations différentes de l'ordre n, dont chacune ne pourra d'ailleurs avoir qu'une seule forme. On tire de là cette conséquence importante :

Toute équation différentielle de V ordre m peut être déduite de m équations différentes de V ordre m — i , qui renferment chacune une constante arbitraire; de

m^m-— 1) ^^^^^^iQ^g ^ l'ordre m — 2 , qui en renferment

, , f 7 fnim — I ) . . (/7i — /î -h I ) , deux: et généralement de ae

V ordre m — w, renfermant n constantes arbitraires.

10. D'après cela , si l'on a à intégrer une équation de Tordre m, on pourra chercher ses m intégrales premières. Si Ton parvient à les déterminer, on aura m équations

entre x r, — v? -^ — ^? renfermant chacune une con-

slanle arbitraire-, et, par conséquent, en éliminant les

m £ dérivées de or, on obtiendra une équation entre

x^r eim constantes arbitraires : on aura donc l'intégrale générale de Téquation proposée.

H . Il est quelquefois plus facile de trouver leS intégrales premières de Téquation de Tordre m + i que Ton obtient en différenliant la proposée. Mais alors Tinlégrale générale de cette dernière sera celle de la première, à Tun des membres de laquelle on aurait ajouté une constante arbitraire-, et si Ton connaissait Tintégrale de Téquation de Tordre m+i ^ on aurait celle de la proposée en y faisant cette constante nulle. En conséquence on cherchera les iw -h i intégrales premières 5 on en élimiuera les m dérivées de j, puis on supposera nulle la con-

i6 COURS d'analyse.

stante en question. Maïs Tune des intégrales premières n'est autre chose que la proposée augmentée de cette constante et se réduit, par conséquent, à la proposée , en supposant cette constante nulle \ donc , si Ton peut obtenir m intégrales premières de Téquation de Tordre m + i , qui ne renferment pas la proposée , il suffira d'éliminer, entre celle-ci et les m intégrales, les m dérivées de j*, et Ton aura l'intégrale générale demandée.

Si l'on peut trouver l'intégrale générale de l'équation de l'ordre w + i , par un moyen quelconque , elle renfermera /w-f-^ constantes arbitraires^ mais ces constantes seront liées entre elles par une équation que l'on obtiendra en substituant la valeur trouvée de y dans l'équation proposée-, de sorte que l'on aura seulement m constantes arbitraires , comme cela doit être.

Autre moyen de déterminer les intégrales des équations

différentielles,

12 Au lieu de faire servir l'équation différentielle à la détermination des coefficients du développement de l'intégrale, on peut l'employer à calculer, avec autant d'approximation que l'on voudra , les accroissements successifs de la valeur de y^ et, par suite, cette valeur elle-même. On n'aura pas ainsi l'expression dey au moyen de x, mais autant de valeurs particulières que l'on voudra 5 en d'autres termes , on connaîtra approximativement autant de points qu'on voudra de la courbe représentée par l'équation que l'on cherche.

Considérons d'abord Féquation du premier ordre , que l'on peut toujours supposer mise sous la forme

djr = F (jCy y) dx.

Si l'on se donne à volonté la valeur j'-© correspondante à un X arbitraire Xt^? l'équation donnera Taccroissement

SECONDE PARTIE. in

(jùe prend y quand .r devient j:© + « ; sa valeur sera ^0 = F(j^o,Jo)a, en négligeant toutefois les quantités du second ordre par rapport à a. Désignant par x', y' ces deux nouvelles valeurs de x et y^ raccroîssement de y relatif à un accroissement « dex' aura pour valeur

en négligeant encore les quantités du second ordre par rapport à a , ainsi que Terreur encore plus petite provenant de la valeur de y dans laquelle on a négligé une quantité du second ordre. En continuant ainsi, et négligeant toujours les quantités du second ordre par rapport à a, on aura autant de valeurs que Ton voudra de j^, ou autant de points qu'on voudra de la courbe qui' satisfait à Téquation différentielle , et passe par le point arbitraire dont les coordonnées sont Xo, j^o» On voit par là qu'une équation du premier ordre a une infinité d'intégrales qui ne diffèrent les unes des autres que par la valeur d'une constante , qui est \y correspondaiit à une valeur de x choisie arbitrairement. L'expression générale dej^, résultant des calculs précédents, est

le nombre des termes à prendre dépendant de la valeur de X que l'on condidère-, et l'on aurait sans erreur la valeur de y en fonction de x, si Ton pouvait trouver la limite vers laquelle tend la somme de « -f- i termes de cette suite, en supposant na = x — x©, et a décroissant indéfiniment.

13. Il est à remarquer que cette manière de déterminer les diverses intégrales de l'équation différentielle s'applique à toutes les solutions \ les intégrales particulières et les intégrales singulières s'y trouvent également comprises^ ce qui n'a pas lieu dans les autres méthodes.

On procéderait d'une manière semblable si Ton avait a* édit, 2

j8 cours li'AKTALtSE.

à intégrer une cqnation du second ordit;, dont la forme peut toujours être supposée réduite à celle-ci

dx'

vUx,£), ou d£ = YUr,£d..

On se donnerait arbitrairement les valeurs j^, i-r-) correspondantes à jTo) et Téquation ferait connaître Taccroissementde-r- relatif à raccroissement a de xi on aurait

ainsi la valeur de -~ correspondante à a:© + a ^ d'ailleurs

raccroissement de j^ serait connu, puisqu^n donne -^-

On connaîtrait donc, pour la valeur Xo +a, les valeurs correspondantes de j^ ^'' ^' ^^ \ou répéterait indéfiniment cette opération. On voit par là qu'il y a deux constantes arbitraires dans l'intégrale d'une équation du second ordre. Le procédé que nous venons de suivre ne fait connaître que par approximation les valeurs des intégrales \ on ne les connaîtrait exactement qu'en déterminant là limite de la série quand a tend vers zéro , et qu'on pose , conune dans le cas précédent , na == x — a:© *

Les mêmes considérations s'appliquent évidemment aux équations de tous les ordres.

Intégrales singulières des équations du premier ordre, déduites de l'intégrale générale,

14. Soit (i) . . . F (ar, j, a) = o l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre , a étant la constante arbitraire, qui, éliminée entre l'équation (i) et sa dérivée

dF d¥ dy

W IZ-^-d^Tx^''^

conduit à Téquation différentielle proposée. Il s'agit de savoir si cette dernière peut admettre des solutions qui ne soient pas renfermées dans l'intégrale générale.

Or toute équation entre x et y peut se mettre sous la forme

(3) FK^f ?)= o-,

(f étant une certaine fonction de x et j^ et F désignant la même fonction que dans l'équation (i) où Ton a remplacé la constante a par la fonction f . En effet, si Ton égale F(Xy^ Xi 9) ^ ^^^ fonction quelconque, on tirera pour tf une valeur qui rendra cette équation identique. On peut donc supposer que l'équation (3) représente une solution quelconque de l'équation proposée, et il reste à voir ce que doit être pour cela la fonction (f.

En differentiant l'équation (3)j on trouve, en désignant

par -p la dérivée totale de f ^

^^' dx dy dx d^ dx '

équation dans laquelle on peut remettre la valeur f tirée de (3), ce qui produit le même effet, dans les deux premiers termes de (4)^ que si l'on tirait a de (i) pour le reporter dans (2). Donc, pour l'identité des valeurs de

~9 il est nécessaire et suffisant que la substitution de 9 dx

rende

dF €^

,^. df dx

y étant regardé comme la fonction de x cherchée; ce qui peut avoir lieu de plusieurs manières.

20 GOORS D ANALYSE.

I®. Si -^ = 0, (p n'est autre chose qu'une constante, et réquatioB (3) coïncide avec Tintégrale générale.

dta

2®. Si Ton égale à zéro —9 après la substitution de la

valeur de y tirée de (3), ce qui détermine la valeur cherchée de /, on a le même résultat que si Ton déterminait y

par Téquation ^=o,ei qu'on reportât sa valeur dans (3).

D*où Ton conclut que, quand on a l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre , on aura toutes les autres intégrales en éliminant la constante entre l'équation intégrale et sa dérivée partielle par rapport à la constante , égalée à zéro \ ou sa dérivée partielle par rapport à y^ égalée à l'infini. Néanmoins il faudra s'assurer si chacune de ces hypothèses annule réellement le premier membre de l'équation (5) et ne le réduit

pas à -•

n sera encore nécessaire de s'assurer si les solutions ainsi obtenues ne sont pas renfermées dans l'intégrale générale. Dans ce cas particulier, on aura une intégrale particulière au lieu d'une intégrale singulière.

15. Sous quelque forme qu'on mette l'équation (i), l'application des règles précédentes doit nécessairement conduire aux mêmes solutions , et c'est ce que l'on peut vérifier en observant que le rapport des deux dérivées

partielles — » — sera toujours le même, après avoir

substitué la valeur de y tirée de F = o , quoique chacune de ces deux dérivées change quand on transforme l'équa-

lion F = o. En effet, si l'on a une équation quelconque F(a:, j^, z, u)=ro, le rapport des deux dérivées partielles du premier membre par rapport à deux des variables ^ u et z par exemple , exprime toujours y au signe près , la dérivée de Tune des variables i« et ^ par rapport à l'autre ; et par conséquent , après l'élimination de l'une des deux , il ne dépend pas de la forme sous laquelle on présente l'équation qui les lie.

Ainsi, lorsqu'une transformation de l'équation (i)

fera perdre des solutions à Téquation — = o , elle les fera acquérir à l'équation — = o.

16. L'intégrale singulière a une liaison géométrique très-remarquable avec l'intégrale générale. En effet, en éliminant a entre l'équation (i) et sa dérivée partielle par rapport à a, on a l'équation du lieu des intersections successives des courbes représentées par l'équation (i) , dans laquelle on fait varier a d'une manière continue. Donc l'intégrale singulière représente la courbe enve-. loppe des intégrales particulières.

15. Si l'on construit, d'après l'équation difTérentielle, le lieu géométrique d'une quelconque de ses intégrales , comme nous l'avons indiqué précédemment , et que l'on choisisse pour l'ordonnée j^o celle de la courbe enveloppe, correspondante à l'abscisse Xq , Téquation devra fournir

deux valeurs générales de —5 correspondantes l'une à

l'enveloppe , l'autre à l'enveloppée , et qui seront égales , pour le point commun à ces deux courbes. La construc-^ tion indiquée fournira alors les deux courbes. Il y a toutefois une exception remarquable à cette proposition : elle a lieu lorsque l'enveloppe qui représente l'intégrale singulière est une ligne droite.

%2 COURS U*ANALY$K.

En eilet, si Ton part d'un point de cette droite, deux valeurs de -j- sont égales en ce point , et , par conséquent ,

les deux valeurs correspondantes de dy que Téquation fera connaître seront les mêmes , comme cela a lieu en général; mais, dans le cas actuel, une de ces valeurs sera rigoureusement exacte, et ce sera celle qui correspond à la ligne droite dont Féquation du premier degré donne, sans rien négliger, dy = pdx^ tandis que dans tout autre cas on néglige une quantité infiniment petite par rapport «1 dj. Il suit de là que le point voisin du point de départ appartient rigoureusement à l'enveloppe, et qu'on se trouve, par conséquent, dans le même cas que le premier. On voit donc que , dans ce cas , l'équation différentielle donnera rintégrale singulière seulement, et aucune des intégrales particulièi;es ^ et il est clair que c'est le seul cas où cela arrive: car, si le second point n'était pas rigoureusement sur l'enveloppe, l'équation ne donnerait pas

deux valeurs rigoureusement égales pour -^5 quand on y

substituerait les coordonnées de ce point ^ donc, à la valeur suivante de jr, on trouverait deux points au lieu d'un , et les deux lignes existeraient nécessairement.

L'intégrale singulière peut aussi être déterminée au moyen de Téquation différentielle elle-m.ême. Soit cettç équation

dans laquelle y' représente — •

La représentation géométrique de la solution singulière étant la courbe enveloppe de celles qui représentent les intégrales particulières , celles-ci se coupent généralepient les unes les autres ] et , quand elles sont infiniment voisines, le point d'intersection devient un point de con-

SF.CONDE PARTIE. 23

tact et apparlient à Tenveloppe. Ainsi réquation (6) doit généralement donner pour une même valeur de x et j^ au moins deux valeurs différentes de y\ et deux de ces valeurs doivent devenir égales quand x el y se rapportent à un point de Tenveloppe , ou , en d'autres termes , satisfont à l'équation qui représente la solution singulière. On exprimera donc que l'équation (6) donne deux

valeurs égales pour j^', ce qui se fera en posant --^=0, si

f{x^y^ y.) est une fonction dont la forme soit unique. Si sa forme était multiple, on pourrait la réduire à ètfe unique , ce qui rentrerait dans le premier cas ; on pourrait aussi traiter successivement chacune des équations distinctes renfermées dans f{x^ y^ y') = o , et exprimer qu'elles donnent des valeurs égales de y'^ ou bien qu'une valeur de y* tirée de l'une est égale à une valeur de y' tirée de l'autre. Si par exemple l'équation (6) était résolue par rapport à y\ on ne pourrait employer que le dernier moyen et égaler ces valeurs deux à deux. Dans tous les cas, soit ^{pc^y^ y'):=iO une équation expri^ mant que l'équation (6) donne deux valeurs égales de y\ la solution singulière devra satisfaire à ces deux équations, et par conséquent au résultat de l'élimination de^' entre elles. Opérant donc cette élimination, on aura une équation entre ar, y qui renfermera la solution singulière^ si elle existe. On vérifiera donc si les diverses valeurs de y en x qu'elle fournit satisfont à l'équation (6)^ et si l'on en trouve qui ne rentrent pas d'ailleurs dans l'intégrale générale, on connaîtra la solution singulière. Soit comme exemple

f désignant une fonction qui n'ait qu'uni; seule valt'ui pour une même valeur dr y\ Nous aurons , pour coadi-

24 COURS U^HALYSF..

lion dVgalilé de deux valeurs de j ^

et il faudra éliminer y' entre ces deux équations. Il reste à vérifier que Téquation résultante en x^ y satisfera à la proposée (7). En effet, supposons que de Téquation (8) on tire j"' = (}) (a:), et qu'on le reporte dans Téquation (7), on aura

En la diiférentiant , on trouve

— = (p (x) -h f (.r)[x -+-/' tp(j:)] = <p W,

et, par conséquent, Téquation (9) pourrait s'écrire ainsi ;

Elle satisfait donc à Téquation différentielle proposée, et elle en forme la solution singulière; car elle ne rentre pas dans Tintégrale générale, que nous déterminerons plus tard.

Intégration des équations différentielles du premier

ordre. .

16. L'équation la plus générale du premier ordre, et dans laquelle le rapport différentiel -~- ne passe pas le premier degré , peut se mettre sous la forme

Qdjr -f. Vfix = 0, ou Q-j^-hP=:o,

P et Q élant deux fonctions quelconques de .r ai y. On pourra toujours y appliquer le procédé général qui con-

siste à développer y au moyen du théorème de Taylor ou de Maclaurin. Il arrive quelquefois que la série peut être^ sommée; quelquefois aussi elle a une forme tellement compliquée, qu'on ne peut pas parvenir à la réduire à une forme finie. Voici quelques exemples dans lesquels ce procédé s'applique sans difficulté.

Soit

■^-h ay -\- bjc* z=z o. En la différentiant un nombre indéfini de fois, on trouve

dx^ dx

dx* da?

dx^^ da^-^

Si Ton fait x = o dans toutes ces équations , il vient

d'où

= ro ( I -

X* aa^

26 COURS d'aNALYSK.

ou , en observant que j^o x f^^^ ^^^^ remplacé par une

constante arbitraire c ,

6b ( a}x^ rt V \

L'intégrale générale étant connue, on obtiendrait les intégrales singulières par la méthode que nous avons exposée précédemment. Il est facile de voir qu'il iHexv existe pas dans le cas actuel .