J^or^que les coefficients /' et t sont de même signe
auquel cas on peut les supposer positifs, puisque cela ne dépend que du sens dans lequel on pi*end z positif, il est facile de voir quHl existe un maximum et un minimum pour la courbure des sections normales. En effet , la valeur de v peut se mettre sous la forme
V = r -H (/ — r) sin ' a ,
et Ion reconnaît immédiatement que, si Ton a f — ^>o, la plus petite valeur de v correspond à a = o, et sa plus
grande à a = - *, ces valeurs sont r et f . L'inverse a lieu
si l'on a f — r <C o 5 d'où Ton conclut ce théorème :
De toutes les sections normales faîtes en un même '
point d'une surface , celles qui passent par tes directions principales en ce point , présentent le maximum et le minimum de courbure.
Nous donnerons à ces deux sections particulières le nom de sections principales,
265. Supposons maintenant que r et t soient de signes contraires, et que r, par exemple, soit positif. A partir de a = o, qui donne ii = r, v va en diminuant jusqu'à o,
qui correspond à tanga = — 11 devient ensuite négatif,
ce qui apprend, comme nous l'avons fait remarquer, que le centre de courbure passe de l'autre côté du plan tangent.
Pour a = -t v prend sa valeur maximum, qui serait un
minimum si l'on faisait abstraction du signe. Il passera ensuite symétriquement par les mêmes valeurs dans les trois autres angles droits. On retrouve ainsi les résultats déjà obtenus par d'autres considérations. Il en serait de même pour le cas où l'un des coefficients Z', t serait nul.
3^4 couas d'analyse.
Théorème de M. Dupin sur les surfaces orlliogonaks.
Ce théorème consiste en ce que : Si trois séries continues de surfaces se coupent mutuellement , et de telle manière quelles soient à angle droit en chaque point de leur rencontre y ces lignes d'intersection seront pour chaque surface ses lignes de courbure.
M. Bertrand a déduit de son théorème fondamental une démonstration très-simple de cette proposition. Considérons, en effet, trois séries de surfaces orthogonales , et soient en un point A {fig» i o) AX , A Y, AZ les tangentes aux courbes d^intersection des surfaces que donnent respectivement en ce point les trois séries que Ton considère. Prenons sur ces courbes les points M , N , P à des distances infiniment petites égales du point A. En chacun de ces points les normales aux deux surfaces qui y passent sont perpendiculaires. Soient a, 6 , y et od, ê', y' les angles que font respectivement avec les axes AX , AY, AZ les deux normales Mw , Mm', on aura alors
COSaCOSa' -h COSêcOSê' -h COS7COS7' = O.
Or a et a' diffèrent infiniment peu d'un angle droit, et 6 , y' sont infiniment petits : cette équation deviendra donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
[a) ces 6' -1- CCS 7 = o.
Soient de même «i, 6i, y^ et a,, ê', , y\ les angles correspondants respectivement aux normales Nn , Nn', et enfin ^■i'i êa, 7j, a'j, ê^, y\ ceux qui correspondent aux normales Pr, P/' : on aura semblablemeiit
[h) cos 7', 4- cosa, = o ,
[c) , cosa'j H- COS62 =0.
Ces trois équations a^b^ c résultent de ce que les trois surfaces sont rectangulaires en tous les points de leurs intersections respectives. Maintenant, d'après le théorème de M. Bertrand sur les normales à une même surface, on aura les trois suivantes, dont la première se rapporte à la surface qui a pour normale AX , la seconde à celle qui a pour normale AY, et enfin la troisième à celle dont la normale est AZ :
[d) ces 62 = CCS 7 'j ,
[e) CCS 7 =cosa'j, {f) cosa, = CCS 6'.
La combinaison de ces équations avec les trois premières conduit facilement à la démonstration de la proposition que nous avons en vue. En effet, si nous reportons dans les premières les valeurs de trois des cosinus qui entrent dans les dernières, par exemple ceux qui forment les premiers membres , il vient
cosê'-f- cosa'j = o, COS7', H- cosê' = o, cosa'j-l- ces 7', = o.
Ajoutant les deux premières et retranchant la troisième , on obtient
2 ces 6' = o , ou cosê' = o^
équation qui en entraîne immédiatement cinq autres 5 de sorte que Ton a
cosê' = o, C0S7 = o], cosa '2 = o,
COSêj = o, COS7\ =0, COSa|=:0.
La première exprime que la normale Mm' est dans le planZX, et par conséquent rencontre la normale AZ5 d'où il suit que AM est dans la direction d'une ligne de courbure de la surface à laquelle AZ est normale. Il en serait de même des autres -, de sorte que ces six équations
320 COU&S .D^AJrA.LlrS£.
démontrent que les trois intersections des surfaces pro^» posées sont sur chacune d'elles dans les directions de ses lignes de courbure.
Cette propriété ayant lieu en tous les points d'une (juelconqUe de ces courbes ) elle ne sera donc autre chose qu une ligne de courbure de chacune des surfaces dont die est l'intersection* On peut doue énoncer le théorème suivant , qui est celui de M. Dupin :
Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogo^ nalement, leurs intersections ne sont autre chose que leurs lignes de courbure respectives.
Et comme dans les calculs précédents on n'a fait entrer que la considération des trois surfaces qui passent au point A , on peut énoncer le théorème suivant , qui entraine celui de M. Dupin :
«Si trois surfaces se coupent de manière à être nor^ maies en tous les points oà elles se rencontrent ^ les courbes d'intersection seront, sur chacune des trois surfaces, tangentes aux lignes de courbure menées par le point commun aux trois surfaces.
Remarques générales sur les systèmes de droites menées
par tous les points de l'espace,
266. Les propriétés que nous avons déduites 3e la formule (3), relativement aux normales à ime même surface, sont caractéristiques ; c'est-à-dire qu'elles n'auraient pas lieu relativement à un système de droites dont la position serait déterminée pour chaque point de l'espace par des fonctions continues de ces coordonnées, mais qui ne seraient pas normales à une série de surfaces. Il nea est pas de même des propriétés déduites de la formule (2) ; elles ne caractérisent pas spécialement les normales à une même surface. Nous allons démontrer ces propositions
SSGONDE PAKTIE. 3^7
remacquables, qui se trouvent encore dans le Mémoire de M. Bertrand.
Soient X, Y, Z des fonctions continues des coordonnées rectangulaires x^ j^ z d'un point quelconque : elles déterminent pour ce point une droite unique qui fait avec les axes des angles dont les cosinus c, c\ c" sont proportionnels à ces fonctions. Si Ton pose
et que Ton considère toujours le sens correspondant au signe + de ce radical , ces cosinus auront pour valeurs
Soicntmaintenant M un point quelconque de l'espace ayant pour coordonnées x, y, z\ MN la direction déterminée par les équations (i)^ MU, MV deux directions faisant des angles droits l'une avec l'autre, et avec MN; a, a', a et i, b\ b" les cosinus des angles qu'elles font respectivement avec les axes. Prenons, sur ces directions, deux longueurs infiniment petites, MD = MD = e, et aux points D, D' menons les droites DP, D'P', déterminées encore par les équations (i) au moyen des coordonnées de ces points respectifs.
Cela posé , nous allons démontrer d'abord la première proposition que nous avons énoncée, et qui consiste en ce que les lignes DP, D'P' ne feront des angles égaux avec les plans NMD, NMD', et dans le sens indiqué, que lorsqu'il sera possible de faire passer par un point arbitraire de l'espace une surface qui , en chacun de ses points , soit normale à la droite déterminée par les formules (i). Déterminons d'abord l'angle co de DP avec le plan NMU, ou son complément , qui est l'angle de DP avec MV. Remarquons , pour cela , que les coordonnées du point D
328 COURS D*AllâLY$E.
seront
et que les fonctions c, c , c" de a:, y, z deviendront respectivement, pour ce point,
de , de
— 4- fl' — dx dy
de' , dé „ di/\
dx djr dz J
jf
(2) < c' •+■ f ia -^^ a' — -^ a" -r- 1?
l de" de" de"\
\ dx dy dz /
D'après ces valeurs des cosinus des angles de DP avec les axes , le cosinus de l'angle de DP avec MV, ou le sinus de l'angle Ot), ou enfin cet angle lui-même, puisqu'il est infiniment petit , aura pour expression , en observant que l'on a ic + b'c rf- iV = o,
^f de ,de ,,de\ . , / d(/ ,dc' „de'\
\ dx dy dz] \ dx dy dz j
^J de" .de" „de"\
11 est presque inutile de remarquer que, si l'on prenait le point D sur une courbe quelconque tangente à MD, la valeur de o) ne subirait aucun changement , puisque nous négligeons les infiniment petits du second ordre.
Si maintenant on veut calculer l'angle de D'P' avec le plan NMV, et dans le même sens par rapport à ce plan, il faudra , dans l'expression précédente , changer a, a', al! en t, i', V\ et i, h\ b" en — a, — a , — a'. Si donc on prend cet angle en sens contraire, ce qui se fera en changeant les signes, on aura, en le désignant par co',
«' = 8a( * —-h b'—-h b"- \ H- m'A b — -h b'—^b''— \ \ dx dy dz) \ dx dy dz /
^at" [b -j--^ y -j^ -^ b" —\ \ dx dy dz /
S1SG0VDE PARTIE. 829
Ce que nous cherchons, c'est la condition pour que oi)=a)', quelle que soit la direction MU. Or, en formant la diflférence w — w, et se rappelant les formules connues
ab' — ba' = c", a"b — b"a = c', «'6" — b'a" = c,
qui résultent de ce que les trois directions en M sont rectangulaires comme les axes , on trouvera immédiatement
La condition nécessaire et suffisante pour que les angles «, Cl)' soient égaux est donc que le second membre de cette équation soit nul ; et l'on remarquera que, comme il ne dépend que de quantités constantes pour le même point M, sHl est nul pour une ceitaine direction choisie pourMU ^ il le sera pour toute autre. Mais on peut , dans cette équation de condition, substituer aux quantités c, c, c" les quantités respectives X , Y, Z qui leur sont proportionnelles. Car la forme de cette équation fait reconnaître immédiatement que l'introduction d*un facteur commun , fonction de x^y^ z^ dans les quantités c, c , c', ne produirait que des termes qui se détruiraient, et un facteur commun que Ton pourrait supprimer.
Ainsi la condition analytique nécessaire et suffisante pour l'égalité des angles «, w' est
\dz
,-HYr4?-?V+z(?-?^Uo.
djr 1 ' ^ \dx dz J * " \djr dx ]
Or cette condition est précisément celle de Tintégrabilité de l'expression
ILdx -h Ydf ■+■ Zdz = o;
et , quand elle sera remplie , celte dernière équation représentera une série de surfaces, en chaque point des-
33o couM d'analyse.
quelles la normale fera, avec les axes, des angles dont les cosinus seront proportionnels à Y, Z. X,
Ainsi , régaUté des angles &), «' en un point quelconque M de V espace entraîne cette conséquence, que, par un point arbitraire, on peut faire passer une surface telle, que ses normales se confondront ai^ec les droites du système en question.
Cette propriété , que nous avions reconnue pour une surface quelconque , est donc caractéristique ,• elle n'appartient qu'aux normales à une surface : elle ne subsiste plus pour tout autre système de droites.
267. Le second membre de Féquation (3) ne dépendant nullement de la direction particulière de MU, il s'ensuit que la différence des angles (0,01)', qui est nulle dans le cas des normales à une même surface , est constante pour un même point, lorsque Ton considère un système quelconque de droites, déterminées en chaque point par des fonctions continues de oc^ y^ z. Cette remarque est due à M. Sturm.
268. Passons maintenant aux propriétés résultantes de la comparaison des courbures des sections normales faites dans une surface par des plans formant entre eux un angle droit ; et voyons si elles sont caractéristiques comme les précédentes , ou si elles subsistent lorsqu'au lieu des normales à une même surface , on considère un système continu quelconque de lignes droites. Dans une surface, les normales à la section ne sont autre chose que les projections des normales à la surface sur le plan de cette section, et la courbure de la section est le rapport de l'angle de deux normales infiniment voisines à l'arc compris. Nous allons généraliser cette considération pour le système de droites déterminées en chaque point de l'espace par les fonctions X , Y, Z. Pour cela , nous ferons passer par une quelconque MN de ces droites un plan quelconque
SECOKDE PAETIS. ~ 33 1
NMU, et nous projetterons sur ce plan toutes les droites du système qui se* rapportent à ses différents points. Leurs directions étant déterminées en fonction des coordonnées de chaque point rapportées , par exemple , à des axes pris dans ce plan , on sait qu'il existe une série de courbes normales à ces droites , parce qu'une équation différentielle entre deux variables a toujours une intégrale ; et nous considérerons celle de ces courbes qui passe par le point M. Lorsque le système général des droites deviendra celui des normales à une série de surfaces', cette courbe ne sera autre chose que la section de la surface passant en M par le plan NMU. Cela posé , la courbure v de la courbe que nous venons de déterminer s'obtiendra comme dans le cas où les droites sont normales à une même surface. On prendra sur MU une longueur infiniment petite MD = e, on mènera par le point D la droi te NP du système en question , et Ton cherchera le cosinus de Tangle qu'elle fait avec MU-, il sera le même que celui que la projection de DP sur NMU fait avec MU, et, par conséquent, sera le sinus de l'angle de cette projection avecNM, ou cet angle même. En faisant usage des formules déjà calculées pour la direction DP, et observant d'ailleurs que
ac -h «V -t- a*'c" = o,
on a pour le cosinus de l'angle des deux directions MN, DP, ou pour l'angle de contingence de la courbe dont il s'agit :
de dx
,dc „dc\ ,[ de' .de' , „dc'\
„/ de'' ,dc" „dc"\ \ dx dy dz }
En divisant cette expression par s, on aurait la courbure cherchée u Mais si , pour simplifier les calculs, on prend
la direction MN pour axe des z, ou aura a" = o, et Texpressiou de v sera, en désignant par a' Tangle que fera MU avec le nouvel axe des x , /
/,x de , fdc dc'\ . £3fc' .
(4; u = — cos*a -h I — -f- — j sin « cosa H- — sin 'a.
Or cette formule va nous démontrer les mêmes propriétés que nous ont offertes les sections normales d'une
surface. En effet, si nous changeons a en a H — ? nous
trouverons, pour la courbure v' relative au plan pçrpendiculaîre à MMU,
- de . /de dc'\ . de'
u = — sin ' a — I — -f- — j sm a cosa -h — ces ' a ;
d'où
de de'
u -+- y' = — 4- -r • dos dy
La somme des courbures relatives à deux plans perpendiculaires entre eux, passant par MN, est donc constante; d'où il suit déjà que, si Tune est maximum, Tautre sera minimum, et réciproquement. Mais, comme cela n'indique ni le nombre , ni la position des plans qui se rapportent à ces maxima ou minima , cherchons , en général , les valeurs de a qui peuvent donner de pareilles valeurs à u. La règle ordinaire conduit à l'équation
dc^ dc^\ dy dx I
d'où il résulte que les valeurs de a ne construiront que deux directions, à angle droit l'une sur l'autre , et correspondant, par conséquent, l'une à un maximum et l'autre à un minimum de courbure.
On voit donc que les propriétés relatives à la courbure des sections normales ne sont pas caractéristiques pour les
surfaces -, car elles se retrouvent pour tout système de directions déterminées en chaque point par des fonctions continues quelconques des coordonnées de ce point. Cette distinction, faite par M. Bertrand, entre les propriétés qui conviennent à tous les systèmes et celles qui ne conviennent qu'aux normales à une série de surfaces, mérite une attention particulière.
269. Nous terminerons cette discussion par la reclierche des directions perpendiculaires à MN {fig^ ii), suivant lesquelles il faudrait marcher pour que les droites infiniment voisines se rencontrassent. On sait, par ce qui précède, qu'il ne peut y en avoir deux rectangulaires en chaque point ; car alors les droites proposées seraient normales à une même surface^ mais on ignore s'il en existe, et comment elles se trouveront situées.
Soit MU une direction telle, que la droite NP du système, menée par le point D situé à une distance infiniment petite e de M, rencontre MN, en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre.
11 est nécessaire et suffisant, pour cela , que l'angle w, exprimé par la formule (3), soit nul. Cette condition sera plus facile à interpréter si l'on prend la droite MN pour axe des z\ on aura alors
et si l'on désigne par a l'angle de MU avec l'axe des x, d'où résultera
a = cosa, fl' =r sina, b = — sina, b' = cosa,
l'équation qui exprime la rencontre de MN avec les droites infiniment voisines devient
fie . . /de de'\ de!
— - sm ' a 4- sm a cos ol\- ) ces ' a = o ,
dy \dx dy j dx
334 COURS D^AHALYSl.
OU, en divisant par cos'a,
de ^ [de dc'\ de'
{g) tang'a-h(^^-^jtanga--- = o.
Cette équation étant du second degré , prouve qu'en cha* que point il y a deux directions, au plus, jouissant de la propriété en question , si Ton excepte les points singuliers pour lesquels les trois coefficient^ seraient nuls , auquel cas toute valeur conviendrait pour a. On peut d'ailleurs facilement vérifier que ces deux directions , lorsqu'elles existent, ne peuvent être à angle droit en chaque point, si les droites du système ne sont pas normales à une même surface. En effet, la condition d'intégrabilité de Téquation
Hdx -H Ydy -\-Zdz = O
n'ayant pas lieu, on n'a pas, à l'origine des coordonnées,
dX dY de dtf
dy dx ' dy dv
donc le produit des racines de l'équation (g), qui est
: — , n'est pas égal à — i , et , par conséquent, les direc-
dy tious données par les deux racines de cette équation ne
sont pas rectangulaires.'
