GOUES d'aNàLYSK

Dans toute surface y la somme des courbures de deux sections normales faites en un même point par deux plans rectangulaires quelconques est constante.

Cette somme est donc celle qui se rapporte aux deux sections qui passent les directions principales en ce point, puisque ces directions sont rectangulaires. Les valeurs de 'v qui s'y rapportent s'obtiennent en donnant succès^

TT

sivement à a les valeurs o et - ; elles sont donc r et t.

On peut remarquer que l'expression de r, donnée par la formule (2), reste la même quand on change a en 2 7r — a. D'où l'on conclut que, pour deux plans normaux symétriques par rapport à l'un quelconque de ceux qui passent par les directions principales, la courbure des sections est la même.

On peut encore faire une autre observation, qui n'est pas sans intérêt : si Ton partage en parties égales infiniment petites l'espace angulaire autour d'un point quelconque d'une surface , et qu'on fasse passer des plans par ces lignes de division et la normale , la moyenne des courbures de toutes ces sections sera la demi-somme des courbures principales, c'est-à-dire des courbures des sections principales. Car on peut partager toutes ces sections en groupes de deux sections ayant leurs plans perpendiculaires; et comme dans chaque groupe la somme des courbures est la demi-somme des courbures principales , la moyenne générale sera aussi cette demi-somme. Enfin cette courbure moyenne n'est autre chose que celle de la section équidistante des deux sections principales.

Car, en faisant a = ^^ on trouve