De même ^éq^atio

donne

I sÎQ oxrfx = arc tang arc tang -•

• Sî , dans cette dernière formule , on fait & = o , c = oo , on obtient la suivante , qui est souvent utile :

JC^ sin cnxdx tt /• f«> «in ûut , I =-9 OU / ^€w: = 7r.

Autres procédés pour la détermination d'intégrales

définies,

280. On ramène quelquefois une intégrale définie simple à une intégrale définie double , parce que l'indépendance des deux variables peut conduire à des simpli-

' e~'*dx. Elle est identique

2^6 COVRS D^NALTSE.

avec

C'^^dy, Si on les multiplie, on aura le carré de o •

l'expression cherchée. Or on peut considérer le produit I e'~'*dx j C'^^dy^ comme obtenu en multipliant

o Jo

chaque élément e"'*^ de la première par la seconde; et , dans cette dernière , on peut poser y = xt^ x restant constamment le même que dans l'élément e""'' dx. Rien ne sera changé par là , quoique x^s'introduisè dans

' jre""'*'* Jt. Si Ton o

pouvait former cette dernière expression en a:, en la multipliant par e""*da:, on aurait un élément qui, int^ré entre o et oo , donnerait identiquement le produit des deux intégrales. Mais dans cette intégration, par rapport à f , le facteur constant e^'*dx peut être introduit sous le signe /, et Ton voit qu'on aura à intégrer l'expression e ~'' xe ~'''' dxiit , ou xe "*' ( '■^•'' ) dxdt ,

d'abord par rapport à t , puis par rapport à o:, ces deux variables étant indépendantes.

Or on sait que ces deux intégrations peuvent se faire dans un ordre inverse , sans que le résultat soit changé ] et, de cette manière, l'opération pourra s'effectuer.

En effet,

Donc

/ e^'*dx=:—^ ou / e-'* dx =z ^ir;

d'où , changeant x en mx.

g-m^'*dx=: — .

- oo