PREMIÈRE PARTIE

281 . Cette intégrale importante peut encore s'obtenir par le procédé suivant qui se trouve dans la Mécanique de 'Poisson.

' I g-* ' -j^ dydx repré-

sente le quart du volume du solide compris entre le plan XY et la surface.dont Téquation est z = e"'*"-^', et qui est engendrée par la révolution de la courbe dont Féquation est z = e~'', autour de Taxe des z. Or, si l'on décompose ce volume au moyen de surfaces cylindriques infiniment voisines, et de révolution autour de l'axe des z , Texpression du volume compris entre les deux surfaces dont les rayons sont Xy et x-i-dx^ sera. aTrjre""'^^ son intégrale est — 7re""'', et l'on aura le volume entier du solide, en la prenant entre les limites o et oo , ce qui donne tt. Si l'on en prend le quart, puis la racine carrée, on aura

et, par suite,

C"'' dx =:^ sjiv.

282. Le passage des quanti téis réelles aux quantités imaginaires, fait avec la rigueur convenable, peut encore conduire à la détermination de nouvelles intégrales. En effet, on tire de la formule précédente, en changeant x en a: H- a ,

fiT^ r** <?-(^+«)*rfa:±= e-«' j

r»QO

278 COURS t/AMALYSK.

Posons a =^ a \/-^ 1 ; il vient , en observant que

"^*yïr = 2 I é?"''c08 2tfjF<ir,

ou , en changeant x en mx et am en ai ,

6' "•' *' ces o.nxdx = — " ^

e 2#lt

La substitution de a y' — i à a n'a pas altéré Téquation, parce que les deux membres pouvaient être développés en séries convergentes par rapport à a , et que , par conséquent, les coefficients des mêmes puissances de a étaient nécessairement les mêmes de part et d'autre. Or, comme iU ne changent pas , quelque expression que l'on substitue à a , l'identité a toujours lieu 5 et c'est pour cela qu'en

lui subsituant as] — i , elle existe encore.

283. En partant des valeurs de deux intégrales définies que nous avons données précédemment, on peut parvenir à l'expression donnée par- Wallis , du rapport de la circonférence au diamètre.

Ces deux formules sont

Jr^ x^^^'dx __ 2.4.6. ..2A o yji—x^ """ 3.5.7.. .(2A- 4- i)'

X^^dx 1.3... (2^ I ) TT

Lorsque k croît indéfiniment, elles tendent toutes les deux vers zéro , comme on peut s'en assurer en renversant les fractions, qui deviennent évidemment infinies avec h-^

PRIMliUK PikfVTlB. 279

car la première devient ainsi

j . III I . . .

et ce produit surpasse — ^"7'+"S"*~'*'"*~"T' ^^^ ^^^^^ ^^^

définiment avec A. Il en serait de même pour la seconde. Mais le rapport de ces intégrales a pour limite l'unité.

En eiFet, si Ton considère deux valeurs consécutives de Xr, les valeurs correspondantes de Tune quelconque des deux intégrales ont un rapport qui tend indéfiniment vers l'unité, à mesure que k augmente. Or, si Ton prend l'exposant de x dans l'autre intégrale , compris entre les deux valeurs de l'exposant de la première , il est clair que la valeur de la seconde intégrale sera comprise entre les deux consécutives de la première , et que son rapport avec chacune d'elles tendra vers l'unité, comme le rapport qu'elles ont l'une avec l'autre.

On peut encore s'çn assurer par la considération suivante, dont on trouve de fréquentes applications.

Lorsque k est très-grand , le numérateur est sensiblement nul , tant que x n'est pas très-voisin de l'unité ; le dénominateur restant alors fini , la partie de l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur i — a^ a étant une quantité fixe aussi petite que l'on voudra , est très-petite par rapport au reste de l'intégrale^ et le rapport de ces deux parties tend vers zéro en même temps que k augmente, a restant constant (*). Pour comparer les deux

(*) On a , en eflfet ,

X'-"« x»dx (l>-a)''^^' I

fi éUnt compris entre o et i — a, et y entre 1 — a et i; d'où il ré-

280 COUKS D*AKALYSS.

intégrales en question , lorsque k augmente indéfiniment , il suffit donc de prendre le rapport des parties de ces intégrales relatives aux limites i — a et i , puis de supposer que a diminue de plus en plus. Or le rapport des différentielles est Xy et, par conséquent, le rapport des parties que nous considérons des intégrales est une moyenne entre les valeurs extrêmes de x, qui sont i — a et i. Ce rapport a donc pour limite i ^ et il en est de même du rapport des intégrales entières , puisqu^on n'en a négligé qu'une partie infiniment petite par rapport à elles-mêmes. On a donc

IV 3.3.5.5. . .(2X- — i)(2^ — i)(2A--hi)

Il est facile de voir que Ton aura un résultat trop faible ou trop fort , suivant que Ton prendra un nombre impair ou un nombre pair de facteurs aux deux termes de cette fraction.

Nous parlerons plus tard d'une méthode générale , qui consiste à ramener la détermination des intégrales définies à l'intégration d'équations diflérentielles relatives aux constantes qui se trouvent sous le signe de l'intégration.

suite

Le rapport de la seconde intégrale à la première est donc plus grand que

Il crôil doue innuimeut avec n , quelque petit que soit a.