Si, au* contraire, on avait fc^ i, on finirait par

avoir -^ ^ a , a étant compris entre i et ft , et , par con-

séquenl , plus grand que l'unité. On aurait alors

PRËMIÈRÏ PARTIE. Siq

Les termes de la série proposée croîtraient donc indéfiniment , et , par conséquent , à plus forte raison la série n'aurait pas de limite. Elle serait donc divergente.

Si Ton avait A = i , on ne pourrait rien affirmer; et, dans ce cas , il peut arriver qu'une série soit convergente, ou qu'elle soit divergente.

319» Toutefois il est bon de remarquer que si le rap-^

port "^ finit par être toujours au-dessus de sa limite i ,

la série est divergente \ car alors les termes finissent par aller toujours. en croissant, et, comme ils sont tous positifs , leur somme peut devenir plus grande que toute quantité donnée , puisqu'il en serait ainsi lors même qu'ils conserveraient une valeur constante , quelque petite qu'elle fût,

390. Si la série est ordonnée par rapport aux puis*sances d'une variable x^ et que l'on ait généralement

w„ = A„a:", le rapport -^ deviendra -j^x-^ et , en dési-

gnant par k la limite du rapport -j^> la condition de

convergence sera

d'où l'on tire

Ainsi la série sera convergente tant que x sera plus petit que 7? et divergente quand il sera plus grand que -r* Il

pourra y avoir incertitude quand x sera égal à j»

Des remarques analogues pourront être faites au sujet des règles suivantes.

320 Goyas d' analyse.

En appliquant la règle précédente à la série

on trouve

Un n -^ l

et, par conséquent,

. lim = o ;

la série est donc convergente. Sa limite est fractionnaire et comprise entre 2 et 3 5 car la suite des termes

- H 5* -f- . . . est inférieure à ceux de la progression

qui commencerait par les deux premiers termes, et la limite de cette dernière est moindre que Tunité. Pour avoir une limite de l'erreur commise en s'arrêtant au

terme ? on remarquera que le rapport -^ allant