PREMIERE PARTIE. 3l
Donc 5 à quelque terme que Ton s'arrête dans la série en question, on peut toujours en prendre un assez grand nombre à la suite, pour obtenir un nombre plus grand que ^ ; et , par conséquent , la somme des termes de cette série ne tend pas vers une limite , et peut croître indéfiniment.
Séries dont tous les tenues sont positifs.*
317. Premier théorème. — Une série est com^ergente, lorsque le rapport d'un terme au précédent tend "vers une limite plus petite que V unité, à m,esure que le nombre qui exprime son rang déifient de plus en plus grand. Elle est dix^ergente lorsque cette limite est plus grande que V unité.
Soit la série
et supposons que -^ ait une limite k plus petite que Funité. Soit a un nombre déterminé quelconque , compris entre i et ft ; -^ finira par être constamment inférieur
Un
à a , quand n aura dépassé une certaine valeur. En considérant la série à partir d'un terme quelconque, au delà de cette valeur, on aura cette suite indéfinie d'inégalités
Un "n-f-i '*n-»-3
d'où résulte
Tous les termes , à partir de Un+i , sont donc inférieurs à ceux de la suite
3i8 couKS i/a^aiase.
qui est une progression géométrique décroissante , et qui a , par conséquent , une limite. Donc aussi la série proposée a une limite, puisque la somme de ses termes, tous positifs , va constamment en augmentant, et reste néanmoins au-dessous d'une certaine quantité finie.
Il est même facile d'apprécier l'erreur commise en s' arrêtant à un terme quelconque. En effet , on a
donc
lim [un -f- «,+, H- . . . ) <
L'erreur commise en s'arrêtant au terme u„^i inclusivement est donc moindre que — ^— • Or u„ est une quantité
connue , qui peut être aussi petite que Ton voudra , puisque les termes de la série , étant au-dessous de ceux d'une progression géométrique décroissante, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée : quant à a , il sera en général assez facile d'en avoir une valeur suffisamment approchée.
Il est évident que notre raisonnement ne suppose
pas que -^ ait réellement une limite, mais seulement
qu'il finisse par être toujours au-dessous d'un nombre déterminé, plus petit que Tunité. Nous nous sommes exprimé ainsi, parce que ce n'est que dans des cas très-exceptionnels que cette fonction de zi a une valeur indéterminée lorsque n augmente indéfiniment. Cette remarque s'appliquera à tout ce qui suit.
