PREMIÈRE PARTIE

On pourrait prendre, à plus forte raison, comme limite , l'expression plus simple

dont la valeur est plus grande que la première.

Cette série est d'un grand usage dans l'analyse, et Ton désigne ordinairement sa limite par la lettre e.

Il est facile de démontrer que sa valeur est incommensurable.

En effet, supposons qu'elle soit commensurable ; comme elle n'est pas entière , elle sera représentée par une expression fractionnaire irréductible -j pétant >• i; on aurait ainsi Tégalité

p III

En multipliant les deux membres par i . 2.3. ..y, on aurait

Or la limite de la somme des termes fractionnaires du second membre est plus ^petite que l'unité, puisque ces termes sont inférieurs à ceux de la progression géométrique

dont la limite est -> et, par conséquent, plus petite que

l'unité. Donc la limite du second membre de la dernière équation ne serait pas égale au premier 5 ce qui est absurde. Il résulte de là que la limite de la série proposée ne 2« édit. 21

322 COURS u'aNALTSK.

pouvait être égalée à un nombre commensurable. Cette limite est donc incommensurable y conune nous voulions le démontrer.

321 . La quantité que nous avons désignée par e peut être considérée comme la limite d'une autre expression remarquable que nous allons faire connaître.

Désignons par m un nombre entier positif croissant indéfiniment , et considérons l'expression

qui se présente sous la forme indéterminée i ^ , quand on y fait m infini. Pour déterminer la limite vers.laquelle elle tend, quand m croit indéfiniment, développons-la suivant la formule ordinaire du binôme ; nous aurons

iX*" m I m(m — i)i

IH ) =H h— ^ ^— -+-...

Tous les termes du second membre sont positifs, et leur nombre est fini et égal à m -f- i . On peut mettre cette équation sous la forme

On voit d'abord qu'un terme quelconque , de rang déterminé et invariable, augmente en même temps que m; et comme le nombre total des termes augmente aussi,

1>BEM1ÈRK PAETÏE. 323

leur somme augmente constamment. D'où il suit que

I H I augmente en même temps que m.

On reconnaît encore que les numérateurs des termes qui forment le second membre de l'équation ( i ) , étant moindres que l'unité , oes termes sont au-dessous des correspondants de la série

(2) iH \ h ^.-f-.. .4- 1-.>.

dont la limite est e. D'où l'on conclut déjà que [ i H — }

est toujours moindre que e ] mais nous allons démontrer qu'il s'en approche indéfiniment.

En effet , le terme qui en a n avant lui dans le dé-

veloj^ement (i) tend indéfiniment vers ^- à mesure

que m croît. Donc la somme des n-^ \ premiers termes de ce développement peut diflerer aussi peu qu'on voudra de la somme s^ des correspondants de la série (a), quelque grand que soit le nombre déterminé n. Mais la différence entre 5„ -et e peut devenir moindre que toute quantité donnée \ donc il en est de même de celle qui existe entre e et la somme des n-\- \ premiers termes du développement ( I ) , et , à plus forte raison , de la différence qui existe entre e et le développement ( i ) tout entier, ou '

( I H — I • Donc enfin ( i H — j tend vers la limite e

lorsque m croit indéfiniment, en restant toujours entier. Considérons maintenant des valeurs positives , non entières pour m. Faisons m=n-\-z^t étant une quantité

positive moindre que l'unité. L'expression I iH — ] de-

vient ( i H ) : or on la rendra plus grande si l'on

diminue le dénominateur ti + s , et qu'on augmente l'exposant 7ï 4- e ; et on la rendra plus petite en augmentant le dénominateur et diminuant l'exposant. L'expi*ession proposée sera donc comprise entre les deux suivantes :

que Ton peut mettre respectivement sous la forme

I 4- - I I ï H- - 1 et

Or il est évident qu'elles tendent l'une et l'autre vers la limite e, puisque n est entier, et que d'ailleurs le facteur

I + - et le diviseur i H tendent vers l'unité à me-

sure que n augmente. Donc enfin la quantité intermédiaire (i -+-"") tend vers c?, de quelque manière que

varie la quantité positive, indéfinimëbt croissante, désignée par /7i.

Si l'on pose — = a , on énoncera le même résultat de * m

cette autre manière :

L'expression (i -f- a)" tend vers la limite e lorsque a est une quantité positive qui tend vers zéro , suivant une loi quelconque.

Il reste à considérer le cas de —5 ou de a , né£;atif et ten-

dant vers zéro. On posera, dans ce cas, i -f- a = ]

o sera une quantité positive tendant vers zéro. On tirera