PREMIERE PARTIE

1 . La notion des limites , qui est la base du calcul infinitésimal , n^était point étrangère aux anciens géomètres. Ils y furent conduits ,. comme nous allons l'indiquer en peu de mots , lorsque , dans la Ynesure des quantités géométriques , ils cherchèrent à aller au delà des figures Terminées par des lignes droites , et des corps terminés par des^plans.

Lorsque l'on veut comparer des grandeurs de même espèce , on commence par se faire une idée nette et précise de Pégalité. On passe de là à la comparaison des grandeurs inégales, en les décomposant, quand cela se peut 5 en parties égales ; et le rapport des nombres de ces parties est le rapport même des grandeurs. Mais il arrive souvent que cette décomposition est impossible, ou qu'elle serait aussi difficile à obtenir que la solution de la question même que l'on a en vue.

Ainsi , dans la géométrie , la décomposition en parties

égales conduit à la comparaison des rectangles -, celle-ci

conduit facilement à celle des parallélogrammes , puis des

triangles , et enfin do tous les polygones rectilignes , qui

2* édit. i

2 (foUKS d\naLYSK.

peuvent toujours être considérés comme composés d'un nombre déterminé de triangles.

Mais si quelques-una des côtés d'un polygone étaient courbes, on ne pourrait pliis le décomposer^ en triangles, et ramener de proche en proche sa mesure*» la simple considération de Tégalité. La même difficulté se présente dans la comparaison des surfaces et des volumes des corps qui ne sont pas termines de tous côtés par des plans. Leur mesure exige de nouvelles méthodes d*investigatîon; et celte découverte, qui est due aux géomètres de l'antiquité, est un des plus grands pas qui aient été faits dans la science.

L'idée qui s'est présentée d'abord à eux a été de substituer à ces quantités d'autres quantités qui en différassent très-peu , et de l'espèce de celles qu'ils savaient comparer. Le raggprt <ie ces dernières devait d'autant moins différer de celui d^s premières , que les quantités substituées différaient moins des proposées-, et si celte différence tendait indéfiniment veas zéro, le ra ppo rt des quantités auxiliaires devait tendre vers celui des quantités proposées, et finir par en différer d'une quantité moindre que toute grandeur donnée. Il ne s'agissait donc plus que de reconnaître cette limite d'une manière ri-

goureuse.

Ainsi , par exemple , pour trouver le rapport des surfaces dé deux cercles , ils substituaient à ces figures curvilignes des polygones inscrits ou circonscrits 5 et pour que la comparaison fût plus facile , ils les prenaient réguliers et semblables. Us démontraient qu'en augmentant indéfiniment le nombre des côtés de ces polygones , leurs surfaces pouvaient différer de celles des cercles , de quantités moindres que toute grandeur donnée, quelque petite qu'elle fût. Or, comme le rapport des polygones était toujours le même que celui des carrés des rayons des cercles,

PaEMiÈRE PAIITIE. 3

et que d'une autre part il devait avoir pour limite celui des cercles ^ux-mêmes; ils apercevaiait , comme conséquence nécessaire , que le rapport des cercles était le même que le rapport des carrés de leurs rayons. Mais une pareille conclusion ne leur aurait pas pacu suiBsamment justifiée, surtout en présence de sophistes subtils qui trouvaient des arguments pour nier les choses l|^s plus évidentes. Ils prenaient alors une sorte de détour pour prouver, sans réplique, la vérité qu'ils avaient ainsi découverte 5 et ils montraient que si le rapport des cercles était plus petit ou plus grand que celui des carrés de leurs rayons , on serait con J duit par des raisonnements incontestables à une absurditc^ manifeste. L'inégalité de ces rapports étant ainsi démontrée impossible, on ne pouvait se refuser à en admettre l'égalité.

Le procédé qui consiste à démontrer la vérité d'une proposition par l'absurdité qui résulterait de la supposisition qu'elle serait fausse, est connu sous k* nom de réduction à V absurde.

Les modernes , sans rien changer au principe de cette n^éthode , ont présenté les démonstrations d'une manière plus naturelle et plus analytique; mais surtout ils en ont poussé les applications beaucoup plus loin , avec le secours du calcul algébrique, dont les anciens n'avaient que / des notions très-élémentaires.

La méthode des limites servant de base à presque tout ce qui fait l'objet de ce Cours , nous allons faire connaître en quoi elle consiste. Mais nous commencerons par présenter quelques notions préliminaires indispensables.

Des fonctions en général, et de la continuité.

2. On désigné sous le nom de variable toute quantité qui, dans la question où on la considère, est susceptible de recevoir successivement différentes valeurs.

^ COUBS D^ANALYSE.

On nomme vajiables indépenrlantes celles^ dont les valeurs sout en tièrement arbitiij iires \ et ^variables dépendantes ou fonctions y celles dont les valeurs sont déterminées par celles de certaines autres quantités, quelle que soit la nature de cette dépendance, et soit qu'il s'agisse de quantités concrètes ou de quantités évaluées en nombres. Dans le premier cas on a des Jonctions concrètes y et dans le second àes fonctions analytiques.

Les fonctions analytiques se distinguent en fonctions explicites et fonctions implicites. Les premières sont celles dont les valeurs peuvent s'obtenir au moyen d'opérations indiquées et que Ton sait effectuer; les autres sont celles qui sont liées aux variables indépendantes par des équations non résolues : dans ce cas j les opérations à effectuer pour former les valeurs des fonctions ne sont " pas indiquées. On les connaîtrait par la résolution des équations données, et les fonctions deviendraient alors explicites.

Les fonctions explicites se subdivisent en algébriques et transcendantes. Les premières sont celles où les seides opérations indiquées sont des additions.^ soustractions, multiplications, divisions, élévations à des puissances et extractions de racines de degrés connus; les autres sont celles qui renferment d'autres opérations indiquées sur les variables :. comme , par exemple, les quantités exponentielles, les logarithmes, les lignes trigonométriques , etc.

Lorsqu'une seule de ces diverses opérations est indiquée sur une variable , on a une fonction simple de cette variable. Lorsque plusieurs d'entre elles sont accumulées les unes sur les autres, on a ce que l'on appelle une fonction de fonctions. Toutes les fonctions qui ne rentrent pas dans ces deux cas se nomment fonctions composées.

Lorsque deux variables sont liées par une équation

PRËMlKai: PARTIE. ^ !

quelconque^ elles sont fonctions l'une de l'autre. La forme de ces deux fonctions est différente si les deux variables n'eptrent pas dans Tëquation d'une mahière symétrique. "On leur doime, l'une par rapport à l'autre, le nom de fonctions im^erses. Si, par exemple, on résont par rapport à x les équations suivantes, qui sont résolues par rapport a j^

y = ^"j y = «*, y = sin jr,

on obtient

X = y/^, X = log j', X = arcsinj.

Ainsi, d'après notre définition, la racine m**'"" est la fonction inverse de la puissance m 5 le logarithme est la fonction inverse de rexponentîelle, etc.

3. Continuité. — Une variable est continue lorsqu'elle ne peut passer d'une valeur- quelconque à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Une fonction est dite continue \orsqpL en faisant varier d'une ma-

• nière continue les quantités dont elle dépend, elle est constamment réelle et varie elle-même d'une manière continue , c'est-à-dire qu'elle ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les intermédiaires. Une fonction peut être continue tant que leà variables dont elle dépend restent renfermées entre certaines limites, et cesser de l'être, ou devenir discontinue, en dehors de ces limites.

Pour démontrer qu'une fonction qui est réelle entre certaines limites de la variable est continue, il suffit de

• faire voir qua l'on peut faire croître la variable par "degrés assez petits pour que les accroissements correspondants de la fonction soient moindres qu'une grandeur quelconque : car, si cette fonction n'était pas continue, il faudrait qu'elle passât brusquement d'yne certaine valeur à une autre qui en différerait d'une quantité finie 5 ce qui

COURS d'analysf..

est absurde , puisque raceroissement de la fonction peut être rendu moindre que toute grnideur donnée. C'est ainsi que, dans les éléments, on a démontré que toutes les. fonctions simples sont continues , et que , par conséquent , il en est de même des fonctions composées. Réciproquement, toute fonction continue d'une variable jouit de la propriété , que ses acèroissements peuvent devenir moindres que toute quantité donnée , pourvu que Ton donne des valeurs suffisamment petites aux accroissements de la variable : car, si raceroissement donné à la variable , à partir d'une de ses valeurs, tendait vers zéro, sans qu'il en fut ainsi de Paccroissement de la fonction, il en résulterait que la fonction'passerait brusquement d'une valeur à une autre qui en différerait d'une quantité 6nie , et que, par conséquent , elle ne serait pas continue.

Si Ton considère les valeurs d'une fonction continue comme les ordonnées , et les valeurs correspondantes de la variable indépendante comme les abscisses , les points ainsi obtenus se suivront sans interruption et formeront • une ligne continue qui sera la représentation géométrique de la fonction analytique. *

Méthode des limites.

4. On appelle limite d'une quantité variable une quantité fixe dont elle approche indéfiniment j c'est-à-dire de telle sorte que leur différence puisse devenir moindre que toute grandeur- assignée, sans cependant se réduire jamais rigoureusement à zéro.

Une même quantité ne peut évidemment tendre en même temps vers deux limites inégales.

Si deux quantités variables dépendent de certaines autres , de telle sojjf e qu'elles restent constamment égales entre elles dans tous les états par lesquels elles passent, et

phkmikrk partie-. <^

que l'on sache que l'une d^elles tend vers une limite, on peut affirmer que l'autre a la même limite: car, puisquelle est toujours égale à la première , elle s'approchera indéfiniment de la quantité fixe dont celle-ci est supposée s'approcher indéfiniment.

Cela posé, considérons une équation» dont les deux membres soient des fonctions continues de variables quelconques Xjjj Z9 etc. , dépendantes ou indépendantes les unes des autres , et représentons-la par

Supposons que les variables x^y^ z^ etc. , tendent simultanément, d'une manière continue ou discontinue^ vers les limites respectives a, 6, c, etc., et proposons-nous de découvrir la relation qu# lie entre elles ces limites , en admettant que les fonctions restent continues dans le voisinage de ces valeurs des variables. Pour cela, observons que, Fe^ydésignant des fonctions continues de x^j^ -z, etc. , elles subissent des ^accroissements très-petits lorsque ces variables changent elles-mêmes de quantités très-petites , et que ces accroissements correspondants tendraient en même temps vers la limite zéro : donc , si Ton conçoit quj3 x, y^ z^ etc., tendent simultanément, et suivant des lois quelconques , vers les limites a , t , c , les fonctions F(a:,j", 5:,...),/(j:, y^ ^ ,.••) tendront indéfiniment vers F (a, i,c,....), /(û, 6, c,...). Mais les limités de quantités égales sont égales : donc on aura nécessairement

c'est-à-dire que la relation entre les limites sera identiquement la même que celle qui avait lieu constamment entre les variables; et qu il suffit de changer dans celle-ci les . variables dans leurs limites , pour avoir la relation qui existe entre ces dernières.

8 COURS D^RALYSE.

Telle est la proposition qui sert de base à la méthode des limites , et la métliode elle-même consiste à considérer les quantités dont on veut découvrir la relation , comme limites de quantités plus simples, et à chercher la rela-* tiôn de ces dernières. Lorsqu'elle est établie, il ne reste plus, d'après Iç théorème précédent, qu'à substituer à toutes les variables leurs limites respectives.