Les quantités variables qui ont pour limites les

quantités proposées peuvent être choisies de bien des

manières différentes , et ce choix est très-important. Les

calculs peuvent être très-simples ou très-compliqués , sui-

' vant la nature de ces variables ^ et dans chaque cas parti*

culier il faudra s'attacher d'abord à reconnaître quelles sont celles qui donneront le plus de facilité au calcul*. Ainsi , par exemple , quand on perche la 'relation entre les surfaces de deux cercles et leurs rayons , on considère ces cercles comme limites de polygdhes réguliers semblables , parce que la relation entre ces polygones et les rayons des cercles est très-facile à obtenir ^ tandis qu'elle aurait été très-difficile à découvrir si Ton avait supposé différents les nombres des côté§ des deux polygones , et que de * plus on ne les eût pas supposés réguliers^ Au reste , si cette dernière était découverte , elle conduirait nécessairement à la même relation entre les cercles et leurs rayons , et le choix des variables n'a d'autre effet que de conduire plus ou moins simplement au résultat. Mais il n'y a aucune règle précise à donner à ce sujet.

Des quantités incommensurables,

6. Deux quantités sont dites incommensurables entre elles, lorsqu'elles ne peuvent être partagées exactement en parties égales, respectivement de même grandeur^ ou, en d'autres termes, lorsqu'elles n'ont pas de commune

PKEMliRF. PARTIE. 9

mesure. Tant qu^dti n^est pas obligé d'éyaluer.les>quautiies \ en nombres, il est indifférent qu'elles soient commensurables ou incommensurables *, mais il n'en est plus ainsi dès que Ton a à considérer les rapports des quantités } entre elles : et il est d'abord nécessaire de se faire une idée précise de ce. que Ton appelle /lo/nftre i>icom/»e/isurable.

La pluralité nous donne la première idée du nombre -j elle constitue ce que Ton appelle le nombre entier. Elle se trouve, «'soit dans la considération simultanée d objets distincts et séparés, soit dans la décomposition d'une grandeur en parties égales. Dans ce dernier cas, le nombre est ce que Ton appelle le rapport de la grandeur décomposée à une grandeur égale à Vx^ne de ses parties.

Mais si l'on avait à comparer deux grandeurs dont la plus petite ne fût pas contenue exactement dans l'autre , elles ne présenteraient plus l'idée du rapport tel qu'il vient d'être défini , et comme il est utile dans les sciences de généraliser le plus possible , c'est-à-kiire de renfermer le plus grand nombre possible d'idées particulières sous ..une même dénomination , on a donné de j^xtcnsîon à la signification des mots nombre et rapport. On a d'abord considéré *le cas où les deux grandeurs ont une mesure commune; et, pour fixer les idées, supposons que cette mesure' soit contenue m fois dans l'une et n fois dans l'autre ; alors la plus grande est égale à m fois la /i*'"** partie de la plus petite , et celle-ci à n fois la m**'"* partie de la plus grande.

Dans ce cas , on est convenu de dire que le rapport de

la grande à la petite est -? et que celui de la petite à la

grande est - • Ces deux rapports , auxquels donne ton-

lO COURS O^ANALYSK.

jours lietkla comparaison de deux grandeui*5 inégales, sont dits rapports inverses ou réciproques.

Ces nouveaux rapports ont encore été appelés des nombres , et pour les distinguer des nombres entiers on les a désignés sous le nom de nombres fractionnaires . Enfin, si l'on considère deux grandeurs qui n'aient pas de mesure commune , elles ne présentent aucune des deux idées précédentes, et il faudra ou dire qu'elles n'ont pas de rapport, ou. donner à la signification des mots rapport et nombre une nouvelle extension ; alors les nombres croî- 1 I tront d'une manière continue comme les quantités con-/ crêtes. Mais il ne suffit pas que l'on convienne de dire que deux grandeurs incommensurables ont entre elles un rapport, et qu^ ce rapport sera désigné sous le nom de nombre incommensurable; il faut définir rigoureusement l'égalité des rapports , ou nombres , incommensurables. Notre manière de voir à cet égard , différente de celle de quelques géomètres , est entièrement conforme à celle d'Euclide.

Observons d'abord qu'en partageant l'une des grandeurs en parties égales suffisamment petites, et les portant dans l'autre autant de fois que possible , le reste sera moindre que ^'une des parties , et par conséquent pourra . toujours être rendu moindre que toute grandeur, donnée 5 de- sorte qu'il existera un rapport conunensurable entre l'une quelconque des deux grandeurs , et une autre qui différera aussi peu qu'on voudra de la seconde.

Cela posé ,' considérons deux grandeurs incommensurables; divisons l'une d'elles, par exemple la plus petite, en parties égales dont le nombre croisse indéfiniment; portons-les dans la plus grande et négligeons le reste : il en résultera une suite de rapports ou de nombres commcnsurables correspondants à la plus petite des grandeurs et à d'autres grandeurs commcnsurables avec elle , et convergeant indéfinimrnl vers la seconde, qiû en est

PREMIEBK PARTIE. I I

la limite y dans le sens que mous avons attaché à ce mot. Concevons , en second lieu , deux autres grandeurs incommensurables de même nature, maïs d'une espèce quelconque, et partageons successivement la plus petite dans le même nombre de parties égales que la plus petite de la première espèce: on aura de même une nouvelle suite de rapports commensurables -, et si ceux qui correspondent de part et d'autre au même mode de division de la plus petite sont toujours égaux , quelque loin qu'on pousse cette division, on dît que les deux premières grandeurs incommensurables ont le même rapport que les deux autres.

7. Mais pour qu'il y ait lieu de définir ainsi Tégalité des rapports incommensurables, il est nécessaire de démontrer que l'égalité des rapports commensurables respectifs est indépendante de la loi suivant laquelle les subdivisions décroissent indéfiniment; c'est-à-dire que si cette égalité a lieu pour une certaine loi , elle aura lieu pour toute autre. Cette proposition peut être démontrée comme il suit:

Soient A et B deux grandeurs inconmiensurables d'une espèce quelconque , et A', B' deux autres grandeurs incommensurables soit delà même espèce que les premières^ soit de toute autre ; admettons que si l'on subdivise A et A' en un même nombre def parties égales , qui croisse indéfiniment suivant une certaine loi déterminée , on trouve constamment le même nombre de ces parties contenues respectivement dans B et B': il s'agit de démontrer que si l'on partage A et A' en un même nombre quelconque m de parties égales , non renfermé dans la loi donnée, il se trouvera toujours un nombre égal de ces subdivisions respectives dans B et B'.

En effet, -supposons qu'il y ait un nombre k de parties dans B, et un nombre différent par exemple, plus grand

12 COUR3 d'aXALYSR.

dans B'. Alors K + i parties de la première espèce surpasseront B d'une certaine quantité, que je désignerai par E5 tandis que K + i. parties delà seconde seront encore inférieures à B'. Cela posé, décomposons A eii parties égales moindres que E , et comprises daçs la loi donnée^ décomposons A' en un nombre égal de parties : d après l'hypothèse , il devra s'en trouver respectivement le même nombre dans B et dans B'. Mais il est évident qu'il y aura moins de parties plus petites que E dans B que dans B+E, ou dans K+ 1 des subdivisions en question^ et il y en aura autant dans ces K + i subdivisions, qu'il y aura de parties correspondantes dans les K + i subdivisions correspondantes de B*, qui sont encore inférieures à B'. Donc il y aurait dans B un nombre moindre de parties comprises dans la loi donnée , qu'il n'y aurait de leurs correspondantes dans B'; ce qui est contre l'hypothèse. Il est donc -impossible qu'en partageant A et A' en un même nombre de parties égales, ces parties ne soient pas respectivement comprises dans B et B' le même nombre entier de fois.

8. Il est bon de remarquer que l'on n'exprimerait rien qui fût réellement contradictoire avec notre définition en disant , avec beaucoup de géomètres , que le rapport de deux quantités incommensurables est la limite des rapports commensurables de l'une d'elles et d'une quan-

' tité variable ayant la seconde pour limite. Mais il n'est pas permis de donner celte définition des rapports incommensurables, parce qu'elle supposerait qu'il existe un nombre limite, tandis qu'au contraire il est certain qu'il n'en existe pas, si l'on ne donne pas de l'extension au sens du mot nombre.

9. Tout cela posé , lorsque nous dirons qu'une équation a lieu entre des nombres incommensurables, nous entendrons que cette équation a lien entre des nombres com-

PRRMIÈRK PARTIE. ,3

mensurables qui expriment des quantités variables, qui convergent vers des quantités fixes qui n'ont pas de commune mesure avec l'unité , et qui sont représentées par ces nombres incommensurables. D'où il résulte que la démonstration se fera comme si Ton regardait les nombres incommensurables comme limites de nombres commen- ,' surables, .et rentre, quant à la forme, dans la méthode / des limites.

10. On peut arriver à l'idée des nombres incommensurables autrement qu'en comparant deux grandeurs qui n'ont pas de mesure commune , et par des considérations purement arithmétiques, comme par exemple celle des racines /des logarithmes, etc. Dans ces cas, on trouve des nombres commensurables qui satisfont à des conditions de plus en plus voisines des proposées , et qui , en prenant une unité quelconque, représenteraient des quantités concrètes tendant vers des limites déterminées. Une équation entre ces nombres incommensurables sera toujours entendue dans le sens que nous avons expliqué précédemment.

De r infini .

H . Le mot infini est employé pour exprimer l'absence de limite, de borne quelconque: c'est ainsi que* l'espace et le temps sont dits infinis. Cette idée exclut évideiîiment celle de toute comparaison sous le rapport de la grandeur. Néanmoins, pour abréger le discours, on parle souvent de quantités infinies, on les soumet aux mêmes opérations que les quantités finies , et il est très-important de ne pas se méprendre sur la manière dont ce langage doit être entendu.

Ces quantités dites infinies ne peuvent se présenter que de deux manières : ou comme solutions, ou comme données d'une question.

L'infini peut se présenter comme solution lorsque,

i4 COURS i/anal\sï.

pour déterminer certaines quantités, on les regarde comme dépendantes d'une autre; et que dans le cas particulier que Ton a en vue, cette dernière n'existe plus, tandis que pour des cas très-voisins elle aurait des valeurs qui pourraientdépasser toute grandeur assignée. Ainsi , par exemple , pour déterminer un angle, on peut, en générât, prendre pour inconnue sa tangente trigonométrique; mais il faut excepter le cas particulier de Tanglc droit. Les équations qui donneront la valeur de cette tangente devront conduire à une expression qui croîtra indéfiniment, à mesure que les données se rapprocheront de celles qui conduiraient pour solution à Tangle droit. Dans ce dernier cas, l'expression ne doit plus rien représenter, et apprendra par cela même que la question se rapporte à ce cas particulier. I.a forme qu'elle prendra alors est celle d'un nombre fini , divisé par zéro. On dît alors que la valeur de l'inconnue est infinie, et que l'angle correspondant est droit ; de sorte que la question proposée est possible, et sa solution est déterminée. Mais si la quantité ^ont la valeur générale' se présente dans uncas particulier sous la forme illusoire d'un nombre divisé par zéro n'est pas une inconnue auxiliaire, mais bien celle que Ton voulait déterminer, il est clair que la questi<m proposée était absurde.

L'infini, peut encore se présenter autrement que comme solution d'équations ; dans des cas- particuliers ; il peut se trouver dans les données mêmes de la question. On peut se proposer de trouver la limite du rapport de la différence, ou de toute autre fonction de quantités dépen-^ dan tes lès unes des autres, et croissant sans limites. Dans tous les cas de ce genre, on dit quelquefois que cette limite est le rapport, ou la différence, ou la fonction quelconque de ces quantités infinies*, mais il n'y aurait aucun sens à attribuer à la comparaison des deux infinis,

PI^KMIKRE PAETiE. l5

puisque , comme je Tai' déjà dit, Finfini ne signifie pas une grandeur, mais l'absence de limites : ainsi ^ si Ton mène dans un plan des parallèles équidistantes , il est absurde de dire que les espaces infinis renfermés entre les parallèles consécutives sont égaux. Mais si Ton cherche les rapports de ces espaces croissant indéfiniment, on peut bien

.se demander quelles sont leurs limites, et Ton trouve alors un résultat complètement indéterminé y car on peut faire croître indéfiniment les longueurs de deux de ces bandes en établissant entre elles une relation arbitraire; et l'on ne trouverait le rapport de ces bandes infinies égal

* à runité.que dans des cas très-particuliers.

Rien ne serait plus facile , sans doute , que d'employer un langage entièrement exact pour exprimer ces idées , qui n'ont rien que de trè3-simple, et l'on éviterait ainsi l'inconvénient d'en laisser prendre souvent de fausses, qu'il est ensuite bien difficile de détruire. Le langage n'est pas d'ailleurs beaucoup simplifié, comme on le voit, par cette manière inexacte de rendre des idées très-claires par elles-mêmes; mais, comme elle est souvent employée, je n'aî pu me dispenser de préciser comment elle doit être entendue.

Des quantités infiniment petites. Comment elles

s'introduisent dans le calcul. '

12. Les quantités que l'on a pour objet de déterminer /2/^^^^ ^ ^' peuvent être considérées de diverses manières comme /O % ,

limites de quantités variables d'une espèce plus simple. ' Toutes ces manières se réduisent presque exclusivement aux trois suivantes ':

i*^. La quantité proposée peut être considérée comme limite d'une somme de quantités qui tendent indéfiniment vers zéro , et dont le nombre augmente indéfiniment ; ou , encore, comme fonction de pareilles limites;

l6 COURS D^NALTSS.

a**. On peut la considérer comme limite du rapport de deux quantités qui tendent simultanément vers zéro, ou comme fonction quelconque de limites de cette espèce et de la précédente ;

3^. Enfin, on peut la considérer comme limite d'une ^ornme de quantités invariables, dont le nombre augmente indéfiniment, et qui décroissent successivement en tendant vers la limite zéro.

Ce dernier point de vue se rapporte au développement en séries. Les deux autres constituent ce que Ton appelle le calcul infinitésimal, qui est Tobjet principal que nous avons en vue.

13. Toute quantité variable qui a pour limite zéro se nomme une quantité infiniment petite, ou simplement un infiniment petit.

Les calculs relatifs à ces quantités peuvent être beaucoup simplifiés à Taide des théorèmes suivants :

Premier théorème. — La limite du rapport de deux quantités infiniment petites n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres, qui ne leur sont pas égales, mais dont les rapports auec elles ont respectivement pour limites l'unité.

Soient, en effet, a et 6 deux quantités infiniment pe-

et de 2f soient égales à Tunité, et que, par suite, les limites

des rapports inverses — ? —■ soient aussi égales à.rùnité j on aura identiquement

Les limites de quantités. égales étant égales , «t la limite

tites ; a' et 6' d'autres quantités, telles que les limites de —

PRÉMIÈaK PARTIE. . l^

d'uq produit étant le produit des limites, on tirera de cette identité, en désignant les limites par Tabréviation/iVn,

ce qu'il fallait démontrer.

H. On peut énoncer le même théorème d'une autre manière , au moyen de la proposition suivante :

que le rapport de cette différence à l'une quelconque de ces quantités a pour limite zéro»

' Et réciproquement : Si la différence de deux quantités est infiniment petite par rapport à l'une d'elles, la limite de leur rapport est V unité.

Soient, en effet, a et a' deux quantités quelconques, et d}evLT différence; on aura

a' = a-l- (î, d'où I = ~dt — • /

Donc^ si la limite de -; est l'unité, celle de -- est zéro,

et réciproquement.

Si Ton avait divisé par a au lieu de a', on aurait prouvé

que a pour limite zéro -, et d'ailleurs il est évident que d

étant la différence de a et a' est contenue dans le plus grand une fois de plus que dans l'autre , et que , par conséquent, les rapports -; -7 sont en même temps infiniment

petits.

On pourra donc énoncer le premier théorème de cette

autre manière :

La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas changée, quand on les remplace respectivement par 2* édit, . 1

i8 couKS d'analyse.

(ï autres qui en diffèrent de quantités infiniment petites par rappoit à eux.

11 est essentiel d'observer que pour que le rapport de deux infiniment petits ait une limite, il est nécessaire qu'ils dépendent l'un de Tautre , ou qu'ils soient tous deux dépendants d'une même variable : sans cela le rapport serait indéterminé , et par conséquent ne saurait avoir de limite déterminée.

Quoique nous ayons principalement en vue d'appliquer les propositions précédentes aux quantités infiniment petites , il n'est pas inutile d'observer qu'elles ont également lieu pour des quantités finies, et même pour des quantités indéfiniment croissantes. Les démonstra-, lions que nous avons données sont indépendantes de Tordre des grandeurs.

15. Deuxième théorème. — La limite de la somme de quantités positivées infiniment petites^ dont le nombre augmente indéfiniment , n'est pai changée ^ quand on remplace ces quantités par d'autres dont les rapports ai^ec elles ont respectivement pour limites l'unité.

Soient, en effet, les infiniment petits

dont le nombre augmente indéfiniment, et

d'autres infiniment petits , tels que les rapports

«1 «2 as a»

aient tous pour limite l'unité.

La fraction

ai H- aa ■+- aa ■ « ■ -f- « w Pi -i- P? 4- Pj • • • + Pm

sera intermédiaire entre la plus petite et la plus grande des

PREMIÈRK PARTIE. ,q

précédentes; elle aura donc, comme elles, l'uni té pour limite. Donc les limites des sommes ^i -h «g 4- . . . -+- <ar et /3i -h/Ba... 4- /3,„ sont égales 5 ce quil fallait démontrer.

Si lune des deux sommes était constante, la limite de l'autre serait égale à cette constante, puisque la limite de leur rapport est Funité.

Il est inutile de dire que ce théorème, de même que le premier, peut être énoncé d'une seconde manière.

16. Le grand avantage que Ton retire de ces théorèmes consiste en ce qu'ils permettent souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites , la partie qui en rend la comparaison et le cdcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quantité elleymème, et il n'en résulte aucune erreur dans les résultats où Ton n'a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Les infiniment petits que l'on considère presque uniquement sont les accroissements de quantités variables indépendantes, et des fonctionis de ces variables. Les accroissements finis ou indéfiniment petits donnés à des variables se désignent souvent par le nom de différences finies ou infiniment petites de ces variables.

Quoique les quantités que l'on a en vue de calculer au moyen des infiniment petits soient ordinairement des limites de sommes ou de rapports, néanmoins il arrive quelquefois que ce soit un infiniment petit même que la question exige que l'on détermine, non en grandeur puisqu'il est variable , mais en signe : cette question se ramène, au reste, immédiatement à une limite de rapport.

Divers ordres d infiniment petits.

17. Si l'on considère plusieurs infiniment petits, dépendants les uns des autres, de telle sorte que l'uisétant

déterminé^ tous les autres le soient, et que Ton en prenne un en particulier pour y rapporter tous les autres, on appellera infiniment petits du premier ordre ceux dont les rapports avec celui-là auront des limites finies ; infiniment petits du second ordre ceux dont les rapports avec le même infiniment petit principal seront des infiniment petits du premier ordre; et en général infiniment petit de l'ordre n celui dont le rapport, avec Tinfiniment petit principal sera un infiniment petit de l'ordre n — i .

Lorsque Ton veut exprimer seulement que le rapport d'un infiniment petit à un autre a pour limite zéro , on dit que le premier est infiniment petit par rapport au second.

Cela posé , il est très-facile d'exprimer, au moyen de Tinfiniment petit principal, ceux de tous les ordres différents. En effet, désignons le premier par a, et par jS un infiniment petit du premier ordre dont la limite du rapport avec a soit K 5 on aura

&) tendant vers zéro en même temps que a.

L'expression de tout infiniment petit du premier ordre sera donc de la forme

6) étant infiniment petit, et K fini.

Soit maintenant y un infiniment petit du second ordre ,

le rapport - devant être du premier ordre; on aura

et, par conséquent, la forme de tout infiniment petit du second ordre sera