I -i-e' point saillant , ou anguleux, à Torigine
j = (.r — a) \/jr — ^ ;
point conjugué, ayant pour abscisse a, si a <^ £; point multiple , ayant pour abscisse a , si a ^ £.
De la courbure de» lignes planes,
142. La courbure d'un arc sans inflexion est l'angle que forment entre elles les directions du premier et du dernier élément de cet arc^ c'est l'angle des tangentes extrêmes : il exprime la quantité dont la courbe a successivement dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc.
Si l'on divise cet angle par la longueur de l'arc , on aura la courbure moyenne de cet arc , rapportée à l'unité de longueur, c'est-à-dire celle que l'on trouverait pour un arc égal à l'unité, si la courbure variait proportionnellement à l'arc , comme dans le cercle , et de manière à obtcQir la courbure donnée pour une longueur égale à celle de l'arc dont il s'agit.
Cela posé , si , à partir d'un point quelconque d'une ligne courbe, on prend un arc de grandeur arbitraire, sa courbure moyenne variera à mesure que cet arc diminuera indéfiniment', et elle tendra vers une limite déterminée , qu'on appelle courbure de la Ugne au point que l'on considère. Cette limite est, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal , la courbure d'un arc infiniment petit, rapportée à l'unité de longueur, cet arc commençant au point que Ton considère.
On obtient donc la courbure d'une ligne en un quel-
ds
PREMIERE PAftTlE. I/^g
conque de ses points , en divisant Fangle de contingence par la longueur de l'arc correspondant, et prenant la limite de ce rapport, en faisant tendre l'arc vers zéro. On trouvera ainsi , pour expression de la courbure ,
dtf dx^ dx^
~ ~ FW' °" W
143. Le cercle ayant une courbure constante , il est naturel de le prendre pour terme de comparaison , et de faire connaître la courbure d'une ligne en un de ses points, en donnant le rayon du cercle dont la courbure est la même. Ce cercle se nomme cercle de courbure, et son rayon 5 rayon de courbure. Si on le place tangentiellement à la courbe au point que Ton considère, en tournant sa concavité du même côté qu'elle, son centre, considéré relativement à ce point de la courbe , prend le nom de centre de courbure.
Or, pour un cercle quelconque la courbure ~ est égale
à l'unité divisée par son rayon. Si donc on désigne par R le rayon de courbure , on aura
-^—9 ou K=:— —'
d^jr d^y
dx^ dx^
144. Pour obtenir l'expression du rayon de courbure en coordonnées polaires , il suflSt de se rappeler les formules
dr"" d'r
dj ^' '^^dô^'~^dB' ^ . /", 5r»
dO di^^ ' rfO "~ V '^ "*" ^ '
^ dp
dx,
R = -^^ r:^ '— 9 ou R =
i5o ' COURS d'analyse.
et Ton trouvera
14?5. Si pour chaque valeur de l'arc que l'on fait tendre vers zéro , on calcule le rayon du cercle qui donnerait la même courbure pour une longueur égale , il faudra toujours, pour l'obtenir, diviser la longueur de l'arc delà courbe par l'angle des tangentes extrêmes. Donc la limite de ce cercle variable n'est autre chose que le cercle de courbure déjà déterminé.
146. Ce même cercle peut être envisagé sous un autre point de vue.
Soient M {Jig. 7) un point quelconque de la courbe, MT la tangente , M'N une tangente infiniment voisine , MO et M'O les deux normales correspondantes *, les quatre points MNM'O sont sur le même cercle dont le diamètre NO a pour limite la distance du point M à la limite du point de rencontre des deux normales infiniment voisines. L'arc de cercle compris entre M et M' difiere de sa corde, et, par suite , de l'arc MM' de la courbe , d'une quantité infini^ ment petite par rapport à lui-même ^ on pourra donc le remplacer par A5, sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports.
Mais l'angle inscrit MOM' est égal à l'arc intercepté divisé par le diamètre : il est d'ailleurs égal à TNM' ou Ay ]
d'où -y = lim -— • ds NO
On voit donc que la limite de NO ou de MO est ^ale
au rayon de courbure ; et le centre de courbure en un
point quelconque est la limite du point de rencontre de
la normale en ce point a\^ec la normale irifiniment
voisine,.
