OU

en remplaçant

le

IkM

sinus par Tare ,

d^X dx dx' 2.

expression qui est la moitié de celle de Tangle de contingence TNM'-, ce qu'il fallait démontrer.

U résulte de là que l'unité est la limite du rapport des angles M, M' du triangle MNM', et, par suite, du rap^ port des côtés opposés MN , M'N.

148. On obtient encore le cercle de courbure en cherchant la limite des cercles qui passent par le point donné et par deux points de la courbe, qui se rapprochent indéfiniment du premier. Ce cercle lin)î/te se nomme cercle oscillateur.

Il est d'abord évident qu'il aura la même tangente

i52 COURS dVnalyse.

en M (fig' 9) que la courbe , à cause de la sécante commune MM' .

Maintenant, le cercle qui passe par les trois points M , M', M'' passe par le point de rencontre O des perpendiculaires menées, par M, M'', aux cordes MM', WW\ Tangle inscrit O est égal à l'arc MM" divisé par le diamètre M'O : on a donc — p = -— , et MM" peut être

considéré comme Tare de la courbe au lieu de l'arc de cercle. Il ne reste plus qu'à calculer Tangle O ou son égal VM'M".

Or, si l'on mène la tangente HK en M', l'angle TNM" est égal à la somme de quatre angles infiniment petits appartenant aux triangles MHM', M'KM" et ayant leurs sommets respectifs en M, M', M" 5 et comme ils peuvent être regardés comme égaux dans chaque triangle, Pangle TNM" vaut deux fois la somme des deux angles HM'M et KM' M", ou deux fois l'angle VM'M", ou enfin deux fois l'angle O. Ainsi, en négligeant les quantités infiniment

petites par rapport à O, on peut prendre O = — 5 MM"

étant la valeur de ds correspondante k dxf^on aura donc

I ,dff

M'O ' ds

Donc la limite de M'O est le diamètre du cercle de courbure. Le cercle osculateur ne diffère donc pas du cercle de courbure.

Comme on n'a fait aucune hypothèse sur la loi que suivent les trois points dans leur rapprochement , on arrivera au même résultat en supposant que les deux premiers points coïncident et que le troisième s'en approche indéfiniment. Le cercle de courbure est donc encore la limite des cercles tangents à la courbe au point M , et qui la