PREMIERE PARTIE. l

coupent en un autre point qui s'en rapproche indéfiniment*

Au reste , en traitant directement cette question comme la précédente, on arriverait à la même conséquence.

149. Si Ton prenait pour variable indépendante une quantité quelconque t différente de l'abscisse , on déduirait Téquation suivante des formules générales par lesquelles on opère cette transformation :

ou R

dx d^jr djr d^x dxd'^y — dyd'^x

'di'dF~' dë'dF

On aurait pu passer ainsi à la valeur de R exprimée en coordonnées polaires , en partant des coordonnées rectangulaires. On aurait trouvé la formule obtenue ci-dessus d'une manière directe.

Appliquons cette transformation au cas où la eourbe serait donnée par une équation entre l'ordonnée et l'arc , et prenons l'arc pour variable indépendante 5 oh a

dxd^y dyd

ds ds^ ds ds^

dx d^x dy d^y

d'où Ton tire

d'y ds'

Il serait, du reste, très-facile de trouver directement cette dernière formule. On déterminerait l'angle de con-

i54 COURS d'analyse.

tingence rf(p, en partant de la formule siny = —-t d'où

donc

— rf^ = cos (prfç = r/,,, y/ i ■- — ;

djT

dff d'^y

ds^

formule qui coïncide avep celle que Ton avait obtenue par le changement de la variable indépendante.

150. Courbes osculatrices . — Si l'on considère , au lieu d'un cercle, une courbe représentée par une équation donnée de forme, et contenant un certain nombre de coefficients indéterminés , on pourra lui donner autant de points communs avec la courbe proposée , qu'il y a de ces coefficients. Si l'on fait ensuite tendre tous ces points vers le premier, la limite vers laquelle tend la courbe variable se nomme la courbe osculatrice de la proposée, relativement à celles qui sont renfermées dans l'équation indéterminée.

Ces conditions géométriques peuvent être exprimées par des relations très-simples entre les coefficients différentiels successifs des ordonnées des deux courbes : soient .Ti, a:,, 0:3,..., Xfn les abscisses de m points communs à deux courbes , croissant par degrés inégaux suivant une loi quelconque^ on supposera , pour mettre le plus de généralité possible dans la question , que l'on prenne pour variable indépendante une quantité quelconque f , dont or, et par suite j^, seront des fonctions connues.

Soient j^i,j^,,j^8,...,j^,„ les valeurs dej^ relatives aux points communs ; les différences successives de yi jusqu'à l'ordre m — i peuvent s'exprimer au moyen des valeurs