Cela posé , revenons k l'intégration de la fonction

La décomposition de la fraction 77— r ' d'après les procédés qui viennent d'être exposés, conduira à l'intégration d'expressions ayant respectivement Tune des formes suivantes :

AiLc kdx {Aj:-J-B)rfx (A4:-f-B)d:r

Fxaminons-les successivement.

i^. La première donne immédiatement

Kdx

ÇKdjL

Al(jr — fl)-+-C.

2*^. On trouvera, pour la seconde, kdx A

(x — «)" (/? — OC*^ — a)"""'

3^. Pour la troisième, on la décomposera comme il suit :

La première de ces deux nouvelles fractions ayant pour numérateur le produit de A par la moitié de la différentielle du dénominateur, est la différentielle de

PftKMIKRE PARTIK.

Pour intégrer la seconde, on posera

•^— a = 6z, d'où fU = ^dSy

et elle devient

Aa-t-B dz

ce qui est la difFérentielle de

Aa -4-8

-z — arctangz.

Donc

4*^. Quant à la dernière expression

{Aj!:-h'B)dx

on la décomposera ainsi

A(x — ûL)dx {Aa-{-B)dx

La première partie est la différentielle de

Pour intégrer la seconde partie ^f > ^^-.^ ^ on posera

r — a = 6^ , et elle deviendra „__, • — ~; tout

sera donc réduit à intégrer 7-- r- : or on a identiqu* -

ment

228 COURS i/aNALYSC.

donc

r dz r dz Ç z\lz

Mais rintégration par parties donnera

/• z^dz e I r dz

(«'-f-i)"^ ~ "■ 2 (n - i) (2«-t-i)«~« "^ 2(n- ij J (2:' -+- 1)"-' '

substituant dans la précédente, il vient

/__dz i 2w — 3 r dz

L^intégration étant ramenée à une autre semblable, mais dans laquelle l'exposant de z*-4-i est diminué d'une unité, on parviendra , par une suite de réductions

analogues , à l'intégrale de — ? qui est arc tang z.

On obtiendra ainsi la formule suivante :

j(«»+iV (an-2) («»-*-!) "-• I . ;2ii-3)(2n-5)...5.3 , , . ., ^

(an— -3) (î« —5). ..3.1 „

-f- 7 ,-; 7^ 7 — arc tang 5 + C.

(an —a) (2/1 — 4)... 4. 2 ®

Si l'on multiplie cette expression par - ^^^ , et qu'on remplace z par — 7 — 9 on aura l'intégrale indéfinie de

(Aa-J-B)rfjr

on connaîtra , ,par conséquent , celle de la fonction proposée

(kx-\-^)dx

Ainsi , au moyen des méthodes qui viennent d'êtr£ ex-