Supposons maintenant que Tëquation
ait à la fois des racines inégales et des racines égales^ soit a Tune quelconque de ces dernières, et
le polynôme <f(x) n'admettant plus le facteur (x — a)] posons
ou, en multipliant pary(j:),
( H- A«-, (x — fl)'»-'9(x)H-P(x — «)«.
Le nombre des coefficients du polygone P, ajouté au nombre des constantes A, Ai,.**? A^.!, est égal au nombre des termes de cette équation ; et il s'agit de les déterminer de manière à la rendre identique. Si l'on y fait a: = a , on obtient
d^oùFon tirera la valeur de A. Diflerentiaut l'équation (2) et faisant ensuite x = « , il vient
DifTérentiant successivement la même équation et faisant ensuite j: = a, on introduira à chaque fois un nouveau coefficient, et l'on pourra ainsi , au moyen de m — i différentiations , déterminer A , A j , . . . , A „,L.t • Les termes provenant de P (a: — a)"" disparaîtront tous par l'hypotbèse x= a.
Cherchons la formule générale qui représente toutes ces équations successives, et,* pour cela, dîlîérentions p fois Téquation (2).
PEEMIÈRE PARTIE. 221
Pour savoir ce qui reste de chacun des termes quand on fera x= a après la difierentiation , considérons le terme général A„ (a: — a)" 9 [x). On trouvera sa dérivée de Tordre p au moyen de la formule connue
dans laquelle les exposants de Q et R sont des indices de différentiation. On aura ainsi
dx^ ^ ^=n(n~»)...(n-;>+i)(a:--a)*-Py(x)
(3) < H--»i(n— i).., (n—y»-+-2) (a: — «)«-!'+« y '(jr)
^P\PZll2,n («-I )...(«-;> -h 3) (or-fl) '»~^+» f> " (x) -+-... -h (x-a) » fP{x),
Si p est plus grand que n , les premiers termes auront des exposants négatifs^ et on devra les omettre parce que leurs coefficients seront zéro -, cela tient à ce que quand (x — a) sera affecté de l'exposant zéro, il donnera zéro pour âérivée.
219. Voyons maintenant ce que devient le second membre de l'équation ( 3 ) quand on y fait x = a.Si Ton aLp<C^?i^ il se réduit à zéro. Si Ton a. p = n^il se réduit à son premier terme n (n — i)...2.i (f (a). Enfin, si l'on ap]>«, il faudra se borner à prendre le terme qui en a p — n avant lui, parce qu'il aura zéro pour exposant^ les précédents auraient donc un exposant négatif et doivent être omis, comme nous l'avons dit; et les suivants devîendrdht nuls quand on fera x = a. Le second membre de l'équation (3) se réduit donc alors à
P(P- i). ..(/?-«-+- i)<p''-"{fl).
Donc l'équation ( 2 ) , différentiée p fois en supposant p<^m, donnera, pour x = a^ en observant qu'il faut
^^^ COURS d'anaiysf..
s'arrêter k n=:^p^
• I -^-Pip— i^-'C/» — n-Hi) A»5?P-«(a)4-...-h;;(^-. i)...a.i App(a);
Telle est 1 équation générale qui , en donnant à p toutes le» valeurs entières depuis ©jusqu'à m — i inclusivement, fournira m équations , d'où l'on déduira successivement chacune des quantités A, At,... A^^^. Ces équations sont les suivantes :
F(a)=Aç,(a),
F'(a)=Ay,'(a)-f-A,y(fl), .
F" (fl) = Ap"(a)H-aA.9»'(4)-+-â. lA, ^(a), (5) / F'"(a)=A3p'"(a)-h3A,ç,''(a) + 3.aA,ç,'(a)-f-3.2.iA,ç,(4)
F«-' (a) = Ay)»»- « (a)H-(TO-i)Aj9)'»-« («)-Km-i)(wi-2)A,ç)"— >(ii)-t-...
La première équation donne la valeur de A, et ce sera la seule inconnue si m = t -, la seconde fait ensuite connaître immédiatement Ai, la troisième A,, et, ajnsi de suite, jusqu'à A^.i : et il n y aura jamais impossibilité, parce que le coefficient du dernier terme n'étant jamais zéro , on trouvera toujours une valeur finie pour chaque inconnue.
Il reste à prouver que réciproquement, si Ton prend pour A, Ai ,..., A^i , les valeurs ainsi déterminées, on aura satisfait à l'identité (i). En effet, ces valeurs sont tirées des équations ( 5 ) , qui expriment que l'hypothèse x = a annule le polynôme suivant et ses m — i premières dérivées ,
F{ji?) — A(ï)(x)— A,(jr — fl)ç(^) — A,(a: — a)»(p(a;)...
Donc, d'après un théorème connu, ce polynôme est divisible ps^r (x — a)"' et peut être mis sous la forme
PKEMYElkK PARTIE. 2^3
P(ar-*-a)'"5 P étant un polynôme entier quHl sera facile de connaître. Donc les identités (a) et (t) seront satisfaites. ,
Cela posé , on pourra traiter d'une manière semblable
P la fraction —; — r relativement à une autre racine multiple*
si elle en renferme ^ et continuer ainsi jusqu'à la dernière.
La fraction sera donc décomposée en fractions dont
les numérateurs seront indépendants de. x^ et dont les dé-* nominateurs ne renfermeront respectivement qu'un seul facteur premier dey*(a:) , élevé à une puissance égale ou . inférieure au degré de multiplicité de ce facteur.
De plus , il est facile de reconnaître que cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière 5 car si les constantes relatives à la racine a, par exemple, étaient susceptibles de plusieurs valeurs , on devrait les trouver toutes , soit que le calcul fût fait d'abord pour cette racine, ou pour 'toute autre. Or nous avons reconnu que les constantes A, Ai,. «m -^m^i ^^ pouvaient avoir chacune plus d'une valeur. Donc il n'est possible de décomposer la fraction que d'une seule manière en fractions simples de la forme proposée.
On conclut de là que pour les racines autres que la première a , il ne sera pas nécessaire de recommencer les calculs sur le polynôme P et les suivants. Il sufGra de changer dans les équations ( 5 ) les quantités m^ a et(f[x)^ en celles qui se rapporteront à toute autre racine de l'équation /"(aï) = o; car c'est ce que l'oil obtiendrait en commençant successivement par chacune d'elles.
220. Les calculs précédents exigent que l'on forme le polynôme (f{x) qui est le quotient de la division def{x) par {x — «)'". On peut se dispenser de faire celte opération, et exprimer <p(«), (p'(a),..., ^'"'"^(a), au moyen
224 COURS U^NALYSE.
des dérivées de la foncti#ny*(a?) elle-même : on les substituera ensuite dans Téquation générale (4) ? de laquelle se tirent toutes les équations (5). Or, si l'on différentie les deux membres de l'équation
ils se réduiront à zéro par l'hypothèse a: = a, si le nombre des différentiations est inférieur à m. Supposons-le donc égal k m-hpy p étant un nombre entier et positif quelconque.
11 est inutile de répéter ici ce qui a été dit au sujet de Téquation (3) , et Ton aura , en faisant x^^a dans les dérivées de Tordre m + p,
'f^^'^f— (;w4-^)(w-h/?--I)...(/?-^ 0* L'équation (4) devient, par là,
Vp(a)z3zA. — — -+• A — -^
^' (m-+-;»)(m-hf»— i)...(;H- i) ' (m -j-^— i).. .(;?-)- i)
Si l'on donne à p toutes les valeurs» depuis o jusqu'à . m — I , on aura , pour déterminer A , A i , . • • ^ A ,„, , les m équations suivantes :
F(fl) = A ' , :J ^ >
F'(a) = Ar^^^ ri-^-f-A, / \^ — ,
^' (m-f-i)...2 nf(iîi— 1)...2
/»»+» (al . /''»+• fa) f'^iaS
'^ ' (rM-+-2)...i *(m-|-i)...3 *w...3
^ ^ {•îm — l) ../M (Ci/W — a}...»/ /;/
221. Les calculs précédents peuvent s'appliquer aux racines imaginaires égales, aussi bien qu'aux racines réelles. Mais les réductions entre les termes homologues relatifs aux racines conjuguées ne donnent pas immédiatement des résultats aussi simples que le mode de décomposition que nous allons faire connaître.
Soient 0L±è\J — i deux racines multiples de Tordre m de réquation/^(a:) = o, de sorte que l'on ait
On posera
F(t)__ Ax-i-B A,x-4-B. A«-oXj~B«. JP
OU
f(x)=:(Ax-+-B)ç>(jp)-+-(A,x-4-BJ[(x— a)»-i-6*Jç?(x)-H. ..
-h(Am.x-i-B«-,)[(' — «)'-»-€']'"-' Ç'W-^-l'tC* -«)'-<- 6*]'"-
Le nombre des coefficients indéterminés est égal au nombre des termes qu'il faut égaler de part et d'autre , en ayant égard à ceux du polynôme P. Mais nous nous proposons ici de déterminer seulement A, B,.Ai, B,,..., A„i, B,„^i.
Or, si l'on fait x= a±ë ^ — i dans la dernière équation et dans ses dérivées successives , chacune des équations ainsi obtenues se partagera en deux autres, à cause
de la quantité imaginaire ^ — 1 5 et, de plus, il s'introduira dans chaque nouvelle équation deux nouveaux coefficients inconnus. Ainsi, la première déterminera A et B, la seconde Ai et B^ ; et la m''"**, A,„i et B,„i.
Ces mêmes formules s'appliqueraient aux autres racines imaginaires égales , en changeant convenablement
On pourrait encore, comme dans le cas des racines réelles égales , se dispenser de former le quotient (p (a:), 2*" M/. i5
mii COURS ii\naly$e.
et faire dépendre sa valeur et celle de sesdà^ivées, pour
X = a ifc: 6^ — I, des valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les dérivées def(x) ; mais les formules sont moins simples que dans le cas précédent.
