Contact des courbes et des surfaces, — Si, à

4o6 LIVRE II.

partir d'un point commun à une courbe et à une surface , on mène des parallèles à l'axe des z , on dira qu'il y a ua contact de l'ordre n , lorsque la différence des valeurs correspondantes de z pour la courbe et la surface sera infiniment petite de l'ordre n-\-i. On arrivera à des conditions du même genre que dans les cas précédents , et dans le détail desquelles nous n'entrerons pas.

293 . Déifeloppées . — Si Ton considère une quelconque des normales en un point d'une courbe à double courbure, elle sera tangente à la surface polaire. Le plan normal mené par un point de la courbe , infiniment voisin du premier, coupera cette normale en un point qui sera commun à deux normales infiniment voisines. En faisant pour la seconde normale ce qui a été fait pour la première, et continuant ainsi , on aura une suite indéfinie de normales à la courbe donnée , dont chacune rencontrera la suivante, et dont les points de contact avec la surface polaire seront infiniment rapprochés les uns des autres. Le point de concours des deux normales consécutives , se trouvant sur Tinterseclion des deux plans normaux , se rapproche indéfiniment de la surface polaire, qui est le lieu des limites des intersections des plans normaux consécutifs.

Cette suite de normales détei^mine donc un polygone dont les cotés sont infiniment petits, et dont la limite est une courbe tangente à toutes ces normales, et située sur la surface polaire : on l'appelle développée de la courbe donnée.

Comme on peut choisir une quelconque des normales à la courbe au point de départ, on obtiendra une infinité de développées aussi rapprochées que Ton voudra, et toutes seront sur la surface polaire, qui peut être considérée comme en étant le lieu géométrique. Belativemenl

à ces courbes que nous avons nommées développées , la première prend le nom de déi^eloppante ^ à cause d'une propriété analogue à celle que nous avons reconnue dans les courbes planes , et dont nous allons donner la démonstration.

Soient MN, M'N' [fig. gS) deux droites normales en M et M' à la courbe en question , N et N' leurs points de contact avec la développée -, nous allons prouver que la diflerencedes longueurs M'JN' et MN est égale à Tare NN', à un infiniment petit près, du second ordre au moins. En effet, si aux points M et N on conçoit deux plans perpendiculaires à MN , la longueur M'P sera du second ordre puisque la courbe M'M est tangente au plan ; de plus, QP surpasse MN d'une quantité infiniment petite du second ordre. Oh peut donc prendre N'Q comme égale à la différence M'N' — MN, à une quantité près du second ordre. Mais la limite du rapport deN'Q à la corde NN' est l'unité, puisque les angles Q et N du triangle reciiligne QNN' tendent vers des angles droits. Donc jN'Q diffère de Tare N'N, tout au plus d'un infiniment petit du second ordre*, donc, enfin, la différence de deux normales consécutives MN, M'N' est égale à l'arc NN', compris entre leurs points de contact avec la développée, plus ou moins une quantité infiniment petite par rapport à cet arc, et qui , par conséquent, peut être négligée sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports ou des sommes.

Il résulte de là que si en deux points quelconques de la développée on mène des tangentes terminées à la développante, la différence de leurs longueurs est rigouïeusemenl égale à l'arc compris entre les points de contact.

Et l'on voit par là que la différence entre M'N' — MJN

4o8 LIVRE II.

et l'arc NN', qui devait être au moins du second ordre , était réellement égale à zéro.

Maintenant supposons un fil qui coïncide avec la développée à partir d'un point quelconque, où il s'en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu'à la développante. Si on le déroule en le laissant toujours tangent à la développée , il prendra successivement la position des diverses normales qui sont tangentes à cette courbe-, et ces normales croissant précisément de la même longueur que le fil qui se déroule, ce sera toujours le même point de ce fil qui se trouvera sur la développante. Cette courbe sera donc décrite par l'extrémité du fil pris dans la première position. C'est cette propriété qui a fait donner aux deux courbes, Tune par rapport à l'autre, les noms de déi^eloppée et déi^eloppante.

294. Le lieu des centres des cercles osculateurs d'une courbe à double courbure n'est pas une développée de cette courbe. En effet, deux plans osculateurs consécutifs se coupent suivant une droite qui a pour limite la tangente, et ils forment entre eux un angle infiniment petit du premier ordre. La distance du centre de courbure contenu dans le premier, au second plan, est donc un infiniment petit du premier ordre*, or sa distance à la normale contenue dans ce second plan est plus grande que sa dislance au plan : donc cette normale n'est pas tangente à la courbe qui passe par ces deux centres, puisqu'il faudrait pour cela que celte distance fui un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Le lieu des centres de courbure n'est donc pas une des développées, lorsque la courbe que Ton considère n'est pas plane.

295. Les développées d'une courbe à double courbure jouissent de la propriété remarquable de se réduire à des.

CALCUL DES DÉaiVÉES £T DES DIFFERENTIELLES, ETC. 4^

lignes droites quand on développe la surface polaire sur un plan.

Pour le démontrer, nous considérerons un polygone infinitésimal inscrit «dans la courbe donnée, et ayant ses côtés égaux-, ce qui revient à prendre l'arc pour variahle indépendante. Sur les milieux de ces côtés nous concevrons des plans perpendiculaires, dont les intersections formeront les arêtes de la surface développable qui , à la limite, devient la surface polaire.

Or, si du point milieu d'un côté quelconque on trace une droite dans le plan normal, elle coupera l'arête commune à ce plan et au suivant, en un point qui, joint au milieu du côté suivant, donnera une normale à ce côté •, et il est facile de voir que ces deux normales font des angles égaux avec Tarête que nous avons considérée.

Cette seconde normale prolongée coupera l'arête commune au second plan normal et au troisième, en un point qui, joint au milieu du troisième côté, formera une normale à ce côté, faisant avec la seconde arête le même angle que la normale précédente *, et ainsi de suite indéfiniment.

Maintenant, si l'on développe sur un plan la surface qui renferme toutes ces arêtes, deux normales consécutives se rabattront Tune sur l'autre, puisqu'elles font le même angle avec l'arête sur laquelle elles se coupent*, et le polygone infinitésimal , formé par les intersections 4e ces normales successives , aura tous ses côtés sur une même droite. Ce résultat ayant lieu quelle que soit la petitesse des côtés de ce polygone, aura lieu pour la courbe limite, qui est une quelconque des développées de la courbe proposée.

Donc , dans le rahallement de la surface polaire sur un

4lO LIVRE II.

plan , toutes les développées de la courbe devieunent des lignes droites.

296. Dans le développement de la» surface polaire , les côtés infiniment petits qui composent la développée ne changeant pas de longueur, un arc quelconque de cette courbe a la même longueur avant ou après le développement*, et il en serait de même de toute autre ligne tracée sur cette surface. Donc le plus court chemin d*tin point à un autre sur la surface polaire est Tare de la développée qui passe par ces deux points, puisque, devenant une ligne droite, il est plus court que tout autre après une transformation qui n a pas changé les longueurs.

On peut encore remarquer que si Ton suppose un fil appliqué sur le polygone formé par les normales successives que nous venons de considérer, et prolongé suivant un quelconque des côtés jusqu'au milieu du côté correspondant du premier polygone, inscrit dans la courbe donnée, et qu'ensuite on développe ce fil de manière à ce qu'il soit successivement dans le prolongement de chacun des côtés du polygone sur lequel il est appliqué, son extrémité passera par tous les milieux des côtés de Tautre polygone. Donc,* si l'on passe aux limites des polygones, on retrouvera la propriété démontrée précédemment par des considérations différentes.

297. Equations des déi^eloppées, — Si l'on désigne par a/, y'* z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe proposée, l'équation de la surface polaire s'obtient en éliminant a/, j^, z' entre les deux équations de la courbe et les deux suivantes :

(.r — x') fW -f- (j — r')df H- (z — z') dz' =0,

[x — y) d'x' -h ( r — v'j <ry' -^ (z — z') rl'z' =r ^/v''.

CALCUL DES DKRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. ^} l

Si maintenanl on considère un quelconque des points dont les coordonnées x ^ j^ z satisfont à ces équations , on passera de ce point au point voisin de la développée si la droite qui joint ces deux points est dans le prolongement de celle qui joint les points {x\ y\ z'), (-^'^ JKi ^) î ce qui aura lieu si les difYérenti elles rfr, dy^ dz sont proportionnelles aux différences x — x' ^y — y'^ z — z' , On tirerait de là les deux équations

tf.t X — jr' dy y — y'

ilz z — z' (iz z — z'

Mais une seule sera nécessaire, parce que les précédentes expriment que les points (a:, y, z) ne cessent pas d'êlro sur la surface polaire. Une quelconque de ces deux équations étant jointe aux deux précédentes, et à celles de la courbe donnée , on aura cinq équations entre lesquelles on éliminera x'.y\ z\ et l'on obtiendra deux équations diirérentielles qui conviendront à Tune quelconque des développées.

application des théones précédentes à Vhélice.

298. Si Ton désigne par a le rayon de la base du cviiiidrp , et par m la tangente de l'inclinaison de l'héHce sur le plan de celte base, les équations des trois projections de cette courbe seront

JT r=:z a ros , y s:^ ff sin — , .1;^ -\- y^ = n '. ma ma • 0

L'axe des x passe par le point où l'hélice perce le plan de la base; et cette courbe , en s'élevant , tourne de Taxe des ^' positifs vers Taxe des j positifs.

4l2 LIVRE II.

Ces équations différentiées donnent

(tx=z sin — az, dy =z — cos — az, as = rfz

m ma m ma m

fPx = cos — f/2% dW = sin — r/z% d*s= o.

m^a ma rn^a ma

L'équation du plan osculateur devient alors, en prenant z pour variable indépendante ,

z — z= — mx sin h f^r cos

ma ' ma

Ce plan fait avec Iç plan de la base un angle dont le cosinus pst — et la tangente m. Il est le même que celui

de l'hélice avec le même plan.

L'équation du plan normal sera

m (z — z') = X sin r cos — •

^ ' ma " ma

L'angle de contingence , dont l'expression générale est

y = -- ^d^x^ + rfy -4- d^z^ — d^s\

devient, dans le cas actuel,

dz am ^ i -h m^

L'angle de dmx plans osculateurs consécutifs est dz

« v/ I H- /w^ Le rayon du cercle osculateur, dont la valeur générale

est R = — 9 sera égal à a (i -h 'w^ ) ; sa grandeur est donc

constante et surpasse de am' le rayon de la base. Pour , connaître sa direction, il faut chercher l'intersection du plan normal et du plan osculateur. Les équations combinées donnent

z = z , y z=z X tang — • ma

Donc le rayon de courbure est constamment parallèle au plan de la base, et rencontre Taxe du cylindre. Le* centre de courbure se meut donc sur un cylindre ayant même axe que le premier, et pour base un cercle dont le rayon estam*. Il décrit donc sur ce cylindre une hélice dont le pas est le même que celui de l'hélice proposée.

On trouvera le même résultat en calculant les coordonnées du centre de courbure. Leurs valeurs sont

z=.z\ r = — am} sin — , a: = — ani^ ces — ? ma ma

et Ton en déduit immédiatement les conséquences précédentes.

Déterminons maintenant les équations d'une arête quelconque de la surface polaire , c'est-à-dire de Tintersection des deux plans normaux infiniment voisins. Ces équations sont les suivantes :

,m(z — z') =: X sin r cos — 9

^ ma ma

X cos h r sm — = — am^,

ma ma

Cette droite est nécessairement perpendiculaire au plan osculateur, et on le vérifiera facilement au moyen de ses

4l4 LIVBE II.

équations. Comme d'ailleurs elle passe par le centre de courbure et qu'elle est perpendiculaire au rayon de cour- ♦ bure , elle est tangente au cylindre sur lequel se meut l'extrémité de ce rayon, et dont la base a pour rayon /z#7z'. De plus , il est facile de reconnaître qu'elle est tangente à l'hélice décrite par cette extrémité. En effet, puisqu'elle est perpendiculaire au plan osculateur, elle fait avec le

plan de la base un angle dont la tangente est — : or l'hélice qui est le lieu des centres Je courbure , et dont nous venons de donner les équations , est tracée sur le cylindre dont le rayon est am', et fait avec sa base un angle dont

la tangente est — • Donc l'arête de la surface polaire est

tangente à cette hélice, et la surface polaire est l'hélîçoïde développable dont cette hélice est l'arête de rebroussement.

Mais on sait que la sous-tangente d'une hélice sur le plan de sa base est égale à l'arc de cette base, depuis l'origine de l'hélice jusqu'à la projection du point de contact. Donc la trace de la surface polaire sur le plan {xy) est la développante de la base du cylindre dont le rayon est «m*.

299. Si l'on veut avoir l'équation de la surface polaire, il faut éliminer z' entre les deux équations

tn [z — 3') = .r sin y cos — 9

ma ^ ma

.r cos h Y sin — =r — nm"^.

ma ma

Ajoutant les carrés des membres de ces deux équations, on obtient

substituant dans la s^^onde, on trouve l'équation cherchée, qui est

\ma y m^n' ]

. / z Ix" -+- r' \

. 4-jsin( — qzi/ -^j I \= — am\

\/f/a ^^ \ m^fi* j

La trace de cette surface sur le plan (xy) a pour équation

■ï^cosi/ -— 1 ±jrsini/ — I = ^am^.

Cette courbe est la développante du cercle dont le rayon est û/^', et elle prend naissance au point de ce cercle situé sur l'axe des a:, et du côté des x négatifs; ce qtii s'accorde avec une des propositions précédemment démontrées.

Une hélice pouvant avoir ses deux courbures égales à celle d'une courbe quelconque en un de ses points , son osculation sera d'un ordre plus élevé que celle du cercle -, elle donnerait donc une idée plus exacte de la courbe à laquelle on la conïparerait. Les deux constantes m et a se détermineraient en égalant ses deux courbures à celles de la courbe donnée , au point considéré.