Contact des courbes à double courbure, — Cette
CALCUL DES DKRIVÉKS KT DKS DIFF£KE>TIELM.S , KTC. 4*^ ' •
théorie est semblable à celle que nous avons donnée poulies courbes planes; seulement, au lieu de couper les courbes par des droites parallèles à uu axe, il faudra les couper*par des plans parallèles à l'un des plans coordonnés , par «xemple au planx, y. Ainsi, lorsque deux courbes, auront un point commun x' ^ /', z\ et qu'en les coupant par un plan parallèle au plan x ^y et situé à une distance infiniment petite dz' du point commun , la distance .des deux points ainsi obtenus sur ccfi courbes sera infiniment petite, de l'ordre /i -f- 1 , on dira que les courbes ont lui contact de Tordre w. On reconnaît facilement qu(î Tordre de celte distance 'infiniment petite est le même pour des plans coordonnés quelconques , pourvu que les tangentes à ces courbes au point commun ne soient pas parallèles au plan sécant. La projection d'une droite sur un plan étant égale au produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur ce- plan , te rapport des longueurs de la droite et de sa projection a une limite finie , si lalimite de cette droite ne fait pas un angle droit avec le plan. Donc les trois projections orthogonales d'une droite variable de grandeur et de direction sont, en général, des grandeurs du même ordre que cette droite; et il en est toiijours ainsi pour deux do ses projections au fnoins : il ne peut y avoir qu'une d'entre elles, au plus , qui soit infiniment petite par rapport à cette droite. D'où il suit que, pour que deux courbes à double courbure aient un contact de Tordre n , il est nécessaire et suffisant que deux de leurs projections aient un contact de cet ordre; ce qui ramène à la théorie du contact des courbes planes. Ainsi les conditions pour que ce contact, ait lieu au point dont les coordonnées sont x',/', z' y consistent en ce que pour la valeur z^ de 2, les quantités
(Vy d"x d'y
dx
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aient les mêmes valeurs d'après les étjuatious de ces deux courbes. Ou obtiendra doue encore la courbe osculatrice d'une espèce donnée, en déterminant les coeflîcienls de ses équations de manière qu'il en résulte le plus de dérivées communes avec la courbe donnée, à paqtir des premières. Si les projections sur un plan avaient un contact plus élevé que les projections sur un autre , il suit de ce qui précède que le moins élevé des deux exprimerait Tordre du contact des deux courbes proposées.
287. Droite osculatrice» — Les équations générales d'une droite étant
JT =' ûZ -f- a , ^ = Z>z -4- 6 ,
les équations qui détermineront a^ a/h ^ S seront
les dérivées -j-f t --- étant tirées des équations de la courbe donnée. La droite osculatrice a donc pour équations
ce sont celles que nous avons déjà trouvées pour la tangente.
Î288. Cercle osculateur, — Les équations les plus commodes pour la détermination d'un cercle dans l'espace sont celles d'une sphère et d'un plan. Soient donc les équations générales du cercle
(2) z -\- ax -\- by -k- c =1 o \
différentiant deux fois ces équations , en considérant j: et;
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. ^o3
comme fonctions de ^ , et les autres quantités comme constantes, on aura les équations suivantes :
/t\ dx dy
^ ' r/i- dz'
dz' ~
On remettra dans ces six équations , au lieu de x ,y , ^ , les coordonnées du poînf donné de la courbe, et l'on remplacera toutes les dérivées par celles que donneront les équations de cette même courbe. On en déduira les valeurs de six des constantes a , fe, c , a , S , y, R , et il en restera une indéterminée, parce qu'on peut faire passer une infinité de sphères par un même cercle.
Les coefficients a , 6, c sont entièrement déterminés , et l'équation du plan devient, en désignant par x\y\ z' les coordonnées du point donné ,
(z — z'] [dx' d'y' — df d'x') — dz'd'x' {x—x') -f- dz' d^x' [y —y) = o.»
Cette équation n'est autre chose que celle du plan osculaleur, dans laquelle z est pris pour variable indépendante. Les équations (3 ), (4)? dans lesquelles on regardera a , 6, y comme variables , représjsntent deux plans qui sont perpendiculaires au plan (2), en vertu des équations (5), (6). Les centres des sphères sont donc sur une perpendiculaire au plan du cercle, et elles couperont toutes ce plan suivant un même cercle, puisqu'elles passeront d'ailleurs par un même point (x'^ y^»^ z').
4o4 LIVRE II.
Il est facile de reconnaître dans les équHtions (3), (4) celles qui déterminent la droite- polaire relative au point (x\ y\ z') quand on prend z pour variable indépendante ; et comme le centre du cercle s'obtiendra en cherchant rintersection de cette droite avec le plan du cercle, on retrouve , d'après ce nouveau point de vue , tout ce qui avait été déterminé relativement au cercle osculateur, par des considérations différentes .
Contact des surfaces,
289. Lorsque deux surfaces ont un point commun (x', y', z')^ et qu'en faisant varier x\j' de quantités infiniment petites quelconques dx\ dy\ la différence des valeurs de z correspondantes est un infiniment petit de Tordre n-^i, on dit que ces surfaces ont un contact de Tordre n. L'ordre de cette différence est le même pour toutes les directions qui ne sont pas parallèles aux plans tangents à ces surfaces , au point que Ton considère : il r.ésulte de là que deux surfaces auront un contact du premier ordre , lorsque pour une même valeur de x'j y ou tirera des équations de Tune et de Tautre les mêmes va-
leurs pour z,^, — .
Elles auront un contact du second ordre lorsqu'elles donneront, en outre, «les mêmes valeurs pour les coeflBcients différentiels partiels du second ordre
d-'z' dy d'z'
dx'-" ' dx'dy* ' d~y^ '
Enfin le contact sera de Tordre n lorsque tous les coefficients différentiels seront les mêmes jusqu'à cet ordre inclusivement.
La surface osculatrice d'une espèce donnée se déterminera comme les courbes osculatrices , en établissant le plus
grand nombre possible de dérivées communes entre les fonctions qui expriment la valeur de z dans son écpiation et celle de l'autre surface que Ton considère.
290. Plan oscidateur à une surface, — Soit l'équation générale d'un plan
z z=z ax -\- bjr -^ c \
on aura , pour déterminer a, J, c, les équations
/ L ' ^^ dz' ,
z = ajc -h bjr -{- c , -— , = a, -—. = 6,
— , — étant tirées de l'équation de la surface donnée. L'équation du plan osculateur sera donc
Ce plan n'est donc autre chose que le plan tangent.
291. Sphère osciilatrice à une surface. — L'équation la plus générale d'une sphère ne renfermant que quatre constantes arbitraires , on ne peut, en général , établir un contact du second ordre entre une sphère et une surface donnée, puisqu'il en résulterait six équations de condition. On ne pourra donc établir, entre ces surfaces , qu'un contact du premier ordre. Il restera une constante indéterminée dans l'équation de la sphère, et l'on pourra en profiter de manière à déterminer un contact du second ordre avec Tune des courbes que l'on peut tracer sur la surface 5 mais ces recherches nous écarteraient de noire objet.
