Si Ton suppose une des limites infinie^ on aura

F {x)dx'^ et pour que Tinté-

grale proposée soit finie, il faudra que celle-ci tende vers zéro avec s , quelque petit que soit [i : il faudra donc que

— F { =z — ) Ip tende vers zéro quel que soit |ùi, K étant > I

Soit F {x)= —- — -'-^ *, F ( - — J pourra être remplacé

par - (Kjixs) '*"'", et il faudra que juie"""*"^ 1 fx tende vers

zéro, ce qui exige « > m -h i; et cela est suffisant.

On pourra ainsi ^ au moyen des intégrales défînîesjsingulières , reconnaître si les intégrales cherchées deviennent infinies ou indéterminées quand une valeur de x rend la fonclion donnée infinie, ou quand^une des limites est infinie.

365. On peut encore reconnaître si une intégrale est finie, lorsque sa dérivée devient infinie pour une valeur particulière de x^ en la comparant à une autre plas simple, pour laquelle il n'y ait pas d'incertitude , et telle que les deux dérivées aient un rapport fini pour cette valeur particulière : les deux intégrales seront en même

/* dx 1— — —j^r^ et

— seront dans ce cas. Le rapport des dérivées,

e'-ha:'*, devient i pour a: = o : or la seconde est finie si m <^ I , et infinie si m = i , ou m > 1 5 il en est donc de même de la première.

366. Application des principes précédents à la recherche d^ intégrales définies. — En partant d'intégrales définies connues , et les différentiant ou intégrant par rapporta une constante, on obtient la valeur de nouvelles intégrales.

Ainsi

(Le ÎF "~ o

diiFérentiant n fois par rapport à a, on obtient 1.2.3. ..«, ï.3.5...(2/ï — 1)%

a'où

dx l.3.5...(2«<

Jo (^'-f-«)'=^' 2.4.6... 2/1 1