Si au lieu de différentier 1 F (2:, a:) rfz

on avait

à l'intégrer par rapport à x entre les limites o'o, X-, z^ et Z étant supposées indépendantes de x, on observerait, d'après ce qui précède, que, quel que soit z^

\ dx LF{z^x)dz ç\. f dz I F(z,x)dx

ont la même dérivée par rapport à X] et comme elles deviennent nulles toutes deux pour x= Xo, elles sont aussi égales quel que soit x» L'ordre des deux opérations est donc encore indifférent. Tout cela suppose que la fonction F [z^ x) ne devient ni infinie ni indéterminée, pour aucune valeur de j: et z comprise entre les limites : si cela arrivait, il faudrait un examen particulier dont nous nous occuperons tout à l'heure.

361 . Si les deux intégrales étaient indéfinies , la première serait

) dz-i-<f (x) ;

en l'intégrant, on trouverait

f dx j F(z, jr)f/z-i-/'(z)4- / <f{a:)dx,

ce qu'on peut mettre sous la forme

x)dz+f[z)-^f,[x).

et Ton trouverait un résultat identique en intégrant en ordre inverse 5 les fonctions / et/i pouvant toujours être regardées comme les mêmes dans les deux cas, puisqu'elles sont entièrement arbitraires.

362. Intégrales définies singulières, — M. Cauchy a désigné sous ce nom , des intégrales prises entre des limites qui se rapprochent indéfiniment d'une valeur particulière de la variable , qui rend la fonction infinie.

Par exemple, si l'on suppose F [a] infinie, l'intégrale

F [x) dx sera une intégrale définie singulière, si

£ tend vers zéro, /x étant, un nombre fiid quelconque.

On peut mettre la fonction dittërentielle sous la forme

Ax [x — a) F (x) ', et si Ton désigne par ^ une valeur

moyenne entre a — e et a — jute , l'intégrale sera égale à

' — -, OU (^--«)F(?)lfx^

Si (I — a) F (g) a une limite différente cle zéro quand ^ tend vers a , l'intégrale définie singulière aura une valeur déterminée en même temps que fz. Nous allons voir à quoi cette considération peut être utile dans la détermination des intégrales définies.

363. Cas oii la fonction sous le signe f passe par r infini. — Si une valeur a: = a rend F [x) infinie , et se

trouve comprise dans les limites de Tinti'grale 1 F (x) dxy

on formera d'abord / F (x) dx^ puis / F [x)dx\

on les ajoutera , puis on fera tendre e vers zéro : la limite est ce que M. Cauchy nomme la valeur principale de l'intégrale. On pourra avoir une valeur différente si l'on cherche la limite de la somme des deux intégrales suivantes :

' V{x)dx, j F{x)dxy

6 tendant toujours vers zéro ^ et les nombres [i , v étant différents; car il y aurait, de plus, les deux intégrales

¥{x)dxj et I F{x)dx.

Et si leur somme ne tend pas vers zéro avec e , on aura une valeur différente de la première , que nous avons nommée valeur principale ; mais il est évident que cela

n'arriver^ jamais lorsque les intégrales / F [x) dz ^ F [x) dx seront finies. Or les deux dernières intégrales

définies singulières ont pour limite de leur somme Kl - ?

K étant la limite de (a: — a) F (j:) quand x tend vers a, et supposée de même signe quand x est <[ a, ou > a (le cas contraire n'offre, au reste, rien d'embarrassant).

Si donc K n'est pas nul , l'intégrale / F (j:) dx est indé-

JcK.

terminée; mais sa valeur principale est déterminée, soit Cinie^ soit infinie.

Si K est nul , on ne peut pas dire que Kl - soit néces sairement nul , puisque 1 - peut être infini.

OXS LIMITES DC SOHHKS. 4^7

Par exemple, si v = 6, 1~ est infini, et la seconde in-

F [x) dx.

Ainsi, I — - = 1 ( I -+- p)i et si V = 6, on a la.