CHAPITRE IX

autres procédés pour la détermination d'intégrales définies.

371. On ramène quelquefois une intégrale définie simple à une intégrale définie double , parce que l'indépendance des deux variables peut conduire à des simplifia

cations. Soit par exemple / e~'' dx. Elle est identique

avec I e"^^ dj. Si on les multiplie, on aura le carré de

Texpression cherchée. Or on peut considérer le produit

e"^ dx j e""-^' dj y comme obtenu en multipliant

chaque élément e"*' dx de la première par la seconde ; et 5 dans cette dernière , on peut poser y = xt^ x res-r tant constamment le même que dans l'élément e""' dx. Rien ne sera changé par là , quoique x s'introduise dans

Xao :re~'**' dt. Si l'on

pouvait former cette dernière expression en x^ en la multipliant par cî"'' dx^ on aurait un élément qui , intégré entre o et oo , donnerait identiquement le produit des deux intégrales. Mais dans cette intégration, par rapport à f , le facteur constant e""' c&p peut être introduit sous le signe /, et l'on voit qu'on aura à intégrer l'expression

c~' x€~**^ dxdty ou jce-'^^^' ^ (/xfù,

49^ LIVUB III»

d'abord par rapport à «, puis par rapport à x, ces deux variables étant indépendantes.

Or on sait que ces deux intégrations peuvent se faire dans un ordre inverse , sans que le résultat soit changé ^ et, de cette manière, l'opération pourra s'effectuer.

En effiet,

r^e-''i^^^'^da:=^ ] ' ^,, et f" -^'^"l.

Donc

f e-' dx -=. -^—5 ou 1 e"' dx-=^iz\ d'où, changeant x en mx^

- oo

372. Cette intégrale importante peut encore s'obtenir par le procédé suivant qui se trouve dans la Mécanique de Poisson.

I I e—^^-^y^dydx

0 Jo

re-

présente le quartdu volume du solide compris entre le plan XY et la surface dont l'équation est z z= e— ^'— •?'', qui est engendrée par la révolution de la courbe dont l'équation est ^ = e — '* autour de l'axe des z. Or, si l'on décompose ce volume au moyen de surfaces cylindriques infiniment voisines , et de révolution autour de l'axé des ^, l'expression^du volume compris entre les deux surfaces dont les rayons sont x, et x + dx, sera o^TCXe—'^dx-^ son intégrale est — Tre— **, et l'on aura le volume entier du solide, en la prenant entre les limites o et oo , ce qui donne n. Si l'on en prend le quart, puis la racine carrée.

on aura

et, par suite,

/•oo J — oo

373. Le passage des quantités réelles aux quantités imaginaires , fait avec la rigueur convenable, peut encore conduire à la détermination de nouvelles intégrales. En effet, on tire de la formule précédente, en changeant x en

! d'où

J — oo */— où

Posons a =^ a sj — i ; il vient , en observant que

/OO ff""''cos2flx/ir,

doù

ou , en changeant x en mx et am en n ,

Xoo

La substitution de a V — i à a n'a pas altéré l'équation ,

cos 2 nxdx = — c 2m

494 L1VBE III.

parce que les deux membres pouvaient être développés en séries convergentes par rapport à a , et que , par conséquent, les coeflScienls des mêmes puissances de a étaient nécessairement les mêmes de part et d'autre. Or, comme ils ne changent pas, quelque expression que l'on substitue à a , l'idenlilé a toujours lieu ; et c'est pour cela qu'en lui substituant a ^ — i elle existe encore.

374. En partant des valeurs de deux intégrales définies que nous avons données précédemment, on peut parvenir à l'expression donnée par Wallîs , du rapport de la circonférence au diamètre.

Ces deux formules sont

sli — x'"' 3.5.7.. .(2^+1)'

X'^^'dx I . 3 . . . (2 it I ) TT

Lorsque k croît indéfiniment, elles tendent toutes les deux vers zéro , comme on peut s'en assurer en renversant les fractions, qui deviennent évidemment infinies avec A ; car la première devient ainsi

et ce produit surpasse — l-v-4-^-4-...H t' q^î croit

indéfiniment avec /:. 11 en serait de même pour la seconde. Mais le rapport de ces intégrales a pour limite l'unité.

En effet, si l'on considère deux valeurs consécutives de ft, les valeurs correspondantes de Tune quelconque des deux intégrales ont un rapport qui tend indéfiniment vers l'unité, à mesure que A augmente. Or, si Ton prend l'exposant de x dans l'autre intégrale, compris entre les

DIS LIMITIS »■ SOMHKS. 49^

deux valeurs de l'exposant de la première, il est clair que la valeur de la seconde intégrale sera comprise entre les deux consécutives de la première, et que son rapport avec chacune d'elles tendra vers Tunité, comme le rapport qu'elles ont Tune avec l'autre.

On peut encore s'en assurer par la considération suivante, dont on trouve de fréquentes applications.

Lorsque h est très-grand , le numérateur est sensiblement nul, tant que x n'est pas très-voisin de l'unîté, le dénominateur restant alors fini , la partie de l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur i — a , a étant une quantité fixe aussi petite que l'on voudra , est très-petite par rapport aji reste de l'intégrale; et le rapport de ces deux parties tend vers zéro en même temps que A augmente, a restant constant (*). Pour comparer les deux intégrales en question, lorsque k augmente indéfiniment, il suffit donc de prendre le rapport des parties de ces intégrales relatives aux limites i — a et i, puis de supposer que a diminue de plus en plus. Or le rapport des diffé-

(») On a, en effet,

»i — « x*dx (1 ~ a)*^-' i

Jr^ x*dx 1 — (i — «)«+' I

Il éUnt compris entre o et i — « , et y entre i — a et i j d'oii il résulte

Le rapport de Ja seconde intégrale à la pren)iêre est donc plus grand que

Il crott donc îniiniment avec n, quelque petit ^e soit ee.

renli elles est or, et, par conséquent, le rapport des parties que nous considérons des intégrales est une moyenne entre les valeurs extrêmes de x, qui sont i — a et i . Ce rapport a donc pour limite i ; et il en est de même du rapport des intégrales entières, puisqu'on n'en a négligé qu'une partie infiniment petite par rapport à ellesmêmes.

On a donc

j.^ TT 3.3.5.5... (2^— i)(2X~i) (2^-4-1}

*2 2.2^4 4-6*6 ^ 2it.2X '

d'où

Il est facile de voir que l'on aura un résultat trop faible ou trop fort, suivant que Ton prendra un nombre impair ou un nombre pair de facteurs aux deux termes de cette fraction.

Nous parlerons plus tard d'une méthode générale, qui consiste à ramener la détermination des intégrales définies à l'intégration d'équations différentielles relatives aux constantes qui se trouvent sous le signe de l'intégration.