CHAPITRE X

IISTÉGRATIOIS DES DIFFÉRENTIELLES QUI RENFERMENT PLUSIEURS VARIARLES INDÉPENDANTES.

lil^. Nous n'avons considéré jusqu'ici que Jes différentielles qui ne renferment qu'une seule variable et qui sont, par conséquent, de là forme F (x) flx\ nous allons examiner maintenant celles qui renferment plusieurs variables indépendantes , et nous proposer de déterminer, s'il est possible, la fonction de ces variables qui a pour différentielle totale l'expression donnée.

Considérons d'abord deux variables or, >% et soit proposé d'intégrer l'expression

Mr/x-hNflTr, dans laquelle on a

On observera d'abord qu'il n'existe pas toujours une fonction de x ety dont elle soit la (différentielle : car, si l'on désigne par u une pareille fonction, on devra avoir

__ du ^y du d^u d*u .1 r j

M= -r-' N = -r--, et comme :j— r- = 3— r' " faudra dx dy dxdy dydx

qu'on ait -r- = -j-* Si donc les fonctions M, N ne satisfont pas à cette identité, il n'existera aucune fonction de X eXy qui ait pour différentielle l'expression donnée. Mais nous allons vof-que, si cette condition est remplie, la fonction cherchée existe nécessairement, et que sa détermination se ramène toujoiirs à des quadratures. L 32

une

498 LivBc m.

On remarquera d*abord que cette fonction, devant avoir M pour dérivée partielle par rapport à x , doit être renfermée dans Tintégrale indéfinie de Mcte par rapport à x, y étant considérée comme une constante. Elle est donc

comprise dans l'expression I Mrfx -h V, V étant

fonction arbitraire de /.

Il reste à déterminer cette fonction de manière que la dérivée partielle par rapport h y soit N. Or cette dérivée; est

r'e/M , dy c d^ ^ d\

ou enfin

+ (^>r) — + (•»•,r)-t-;^• ll est donc nécessaire et suffisant que Ton ait

ds r^

Il existe donc nécessairement une fonction de x et j^, dont Texpression donnée est la différentielle y et la valeur la plus générale de cette fonction u est

C étant une constante arbitraire.

376. Il n'y a pas plus de difficulté dans le cas où le nombre des variables indépendantes est plus grand. Soit, par exemple,

Udx-^î^d^-^Vdz et

Mrr:(j»(*,y,'2), N =:>Kar, J, a), V = x(^,fs «)•

DES LIMITB8 DB SOMMES. 4gg

Il faudra d'abord que M , N , P satisfassent aux conditions indispensables

dx dx^ dz'^dx^ ISî"^'

Cela étant, la fonction cherchée seja nécessairement corn-

prise dans la formule f Udx + V, V étant une fonc-

tion arbitraire de y et z^ qu'il faut déterminer par la condition, que les dérivées partielles de l'expression précédente, par rapport k y et z^ soient respectivement NetP.

On aura donc

Il est donc nécessaire et suffisant que la fonction V satisfasse aux deux conditions

dY dY ,

ce qui rentre dans la question précédente. On aura donc

fonction dont la différentielle est l'expression donnée, existe donc lorsque les trois conditions ci-dessus ont lieu 5 et , si on la désigne par u , on aura

C étant une constante arbitraire.

La

C étant une constante arbitraire.

500 LIVftB Ilf.

U est facile de voir que le cas de m variables se ramène de la même manière au cas de m — i , pourvu que les coefficients satisfassent aux conditions qui expriment que les coefficients différentiels du second ordre de la fonction cherchée , pris de toutes les manières possibles par rapport à deux variçibles différentes , sont indépendants de Tordre des différentiations. Donc le problème est toujours possible lorsque ces conditions sont remplies, et il est toujours ramené à de simples quadratures.

DES LIMITKS DK SOMMKS. 5oi