La transformation de

aàzbsj — I en p(cosz±v' — i sinz)

ramène toutes les opérations sur les quantités imaginairci aux opérations sur des expressions de la forme

cos a ± v' — I sÎDz,

et nous avons vu que celles-ci se ramenaient toutes aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs, propriétés tout à fait analogues à celles des exponentielles.

Cette analogie sera encore augmentée par les considérations suivantes.

Représentation des sinus et cosinus par des exponentielles imaginaires ,

33. Si dans le développement de e^ on change x en X s/ — 1 , et qu'on représente la série résultante par e' ~\ on aura

Si l'on convient de même de désigner par c""^ *^~* le résultat de la substitution de — ^x y/ — \k x dans le développement de e^, on aura

Ces équaiîoiis peuvent être écrites comme il suit :

ic' ^-^ = cosx -h v' — I sia X, c' ^^ = cos j: — ^ — i sin x ; d'où ron lire

I cos X =

sinx = -

et dans toutes ces formules il ne faut pas oublier que gjrvcn ^j g-x -1 n'ont aucun sens comme exponentielles : elles ne représentent autre chose que les séries qu'on obtient en substituant -f- a: v/ — i et — x^ — i dans le développement de e', et traitant y — i de la manière convenue.

34. Il est facile de démontrer que ces exponentielles imaginaires doivent être traitées d'après les mêmes règles que si les exposant» étaient réels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier gxvCî p^j, e^*^-*, en entendant toujours par là les séries qui représentent ces expressions, et qui peuvent être remplacées par cos X -H V^ — i sin x et cosj)^ -h y — i sin j, dont le produit est cos (x -{- y) -\- >J — i sin(xH-y). Celte dernière expression est représentée , dans le même sens, par e^""-^^^ *^* ; donc on peut poser

La règle des exposants réels s'observe donc dans la multiplication des exponentielles imaginaires, et, par suite, dans leur division, dans leur élévation à des puissances, et dans l'extraction de leurs racines.

On pourrait encore déduire cette proposition de ce que e^^ étant égal ke* e^ pour toutes les valeurs réelles de x et j", on a identiquement

L'identité ne sera pas troublée en changeant dans les deux membres x en orV — ïi ouj^ ^jïj^ — i -, et l'on trouvera toujours les mêmes termes réels ou imaginaires avec les mêmes signes : d'où l'on conclut

ou encore, en supposant qu'on change seulement y en

^(*-^*^) = tf'£/*^ = e»(cos/-4-^^ smy).

35. On est convenu de donner le nom de logarithmes aux exposants imaginaires, comme aux exposants réels. Ainsi x + y ^ — i est le logarithme de e'(cosj^ -f- ^ — ^^i sinj^); et pour avoir le logarithme d'une expression de la forme adtb^^^i^ on posera d'abord

rt±^V^=l=p(cosx±v^:::7sinar)=:ef'P=*='v'=^

f étant la plus petite valeur positive de j:, et l'on aura

Si & = o, on a pour toutes les valeurs du logarithme de a,

\a±\l — I (y±2 wtt).

L'arc (f est égal à o si a est positif, et égal à tt si ^ est négatif. On a donc, en entendant par \a le logarithme

arithmétique du nombre a ,

1 ( -f- rt) = 1 fl it 2« w V'— I ,

1(— a) = la±:(a/ï-h \)7K\f^.

Cette dernière expression ne donne aucune valeur réelle*, la première en donne une seule.

En faisant a = i , on trouve

36. On peut exprimer, au moyen des formules précédentes , les racines des équations de la forme

En effet , on en tire d*abord

Si Ton dij 9 !> o, ou = o, les valeurs de x seront

les racines de quantités réelles , et nous avons vu comment on pouvait les exprimer au moyen des lignes trigonométriques.

Si Ton a ^ — <7 <! ^ » l^s valeurs de af^ seront de la

forme a±:b \J — i, et l'on en extraira les racines m'*"^', comme nous Favons indiqué en dernier lieu.

Si Ton forme, d'après les valeurs de ces racines , les facteurs réels de x^'^-^px^ + 17, on reconnaît immédiatement une construction simple qui les représente géo* métriquement, et qui repose sur la division du cercle en parties égales. Nous nous dispenserons d'entrer dans ces détails.