CHAPITRE V

20. Pyramides triangulaires. — Nous avons dit précédemment qu'Euclide avait démontré qu'une pyramide triangulaire était limite d'une somme de prismes^ nous allons faire connaître le mode de décomposition qu'il emploie, et qui conduit à une série.

Soit la pyramide SABC (fig- i) 5 désignons sa base par fe et sa hauteur par A. En joignant les milieux des arêtes, on forme deux prismes triangulaires équivalents DEF A HG, HEICFG, et deux pyramides triangulaires EHBI, SDEF, égales entre elles, semblables à la première- et ayant leurs arêtes deux fois moindres que les siennes. L'ftn des deux prismes a pour base le quart de ABC ou de i, et pour hauteur la moitié de h. Il est plus grand que Tune des deux pyramides: car en joignant DH, DG , la pyramide DAHG serait égale à Tune d'elles et serait renfermée dans le prisme 5 d'où il suit que la somme des deux prismes, étant plus grande que les deux pyramides restantes , est supérieure à la moitié de la pyramide proposée. En décomposant les deux pyramides de la même manière que la première, les prismes que Ton formera seront supérieurs à la moitié de ces pyramides, et il restera un nombre double de pyramides ayant leurs arêtes moitié moindres.

En continuant ainsi indéfiniment, on obtient une somme de prismes en nombre indéfiniment croissant et

DES QUANTlTlis COMSIDI^&ÉES GOMME LIMITES. 29

dont la somme peut différer aussi peu qu'on le voudra du volume de la pyramide. En effet, après avoir enlevé les prismes de premier ordre, il reste moins de la moitié de la pyramide^ après avoir enlevé de ce reste les prismes de second ordre , le reste est moindre que la moitié du premier et, par conséquent, que le quart de la pyramide. Le troisième reste , moindre que la moitié du second , sera moindre que le huitième de la pyramide , et ainsi de suite. Donc on peut arriver à un reste moindre que tout volume désigné, puisque, en partageant une quantité fixe en un nombre de parties qu'on double indéfiniment , on peut arriver à des parties moindres que toute grandeur donnée. La pyramide est donc la limite de la somme des prismes d'ordres successifs , obtenus comme nous l'avons indiqué. C'est ainsi qu'Euclide a démontré cette proposition, et 011 en conclut, comme nous l'avons vu précédemment , que deux pyramides triangulaires de base équivalente et de même hauteur sont équivalentes.

21 . Mais nous allons en faire un autre usage et en déduire immédiatement le volume même de la pyramide. Nous remarquerons pour cela que la somme des prismes

de premier ordre a pour mesure -^5 puisque chacun des

deux a pour mesure -ô-» Or les prismes d'un ordre quelconque sont en nombre double de ceux de l'ordre précédent-, mais leurs dimensions étant moitié moindres, leurs volumes seraient huit fois moindres ; leur somme sera donc le quart de la précédente.

Les ternies de là série dont la limite est le volume de la pyramide seront donc

bh bh bh

3o LIVRE 1.

et si Ton désigne par V„ le volume de la somme des prismes jusqu'à un ordre quelconque n , on aura

'■=»(hf-^?)-

Les limites des deux nombres devant être égales, et la première étant le volume de la pyramide , ce dernier sera égal au produit de bh par la limite de la somme des termes de la progression géométrique

Cette série est la première qui ait été sommée , et elle l'a été par Archimède à l'occasion de Taire de la parabole. Sa limite est x*, d'où il suit que la mesure du volume

de la pyramide est -^•

22. Aire du segment parabolique, — Chercbon s maintenant l'aire d'un segment parabolique quelconque ASB.

Soit se [fig- 2) le diamètre des cordes parallèles à AB5 C sera le milieu de AB, et la tangente en S sera parallèle à AB. Le triangle ASB, moitié du parallélogramme AB A'B' dont les côtés A A', BB' sont parallèles à SC , et qui , par conséquent, renferme le segment ASB , sera plus grand que la moitié de ce segment.

Faisons pour les deux segments dont les bases sont SA , SB , ce que nous venons de faire pour le premier ; les triangles SDB , AD 'S seront supérieurs aux moitiés de ces segments. Agissons de même pour les quatre segments restants dont les bases sont BD, DS, SD', D'A , et continuons ainsi indéfiniment. Il est facile de voir que le premier triangle ASB, plus les deux triangles de second

DES QUANTITES COSSIoéEÉES COMME LIMITES. 3l

ordre, plus les quatre de troisième ordre, plus les huit de quatrième, etc. , forment une somme dont la limite est le segment ASB. Car on prend d'abord plus de sa moitié, ensuite plus de la moitié du premier reste, plus de la moitié du second, et ainsi de suite indéfiniment. D*où Ton conclut, par les mêmes raisons que dans l'exemple précédent, que le segment est la limite de la somme des triangles.

Cette démonstration est due à Archimède ; il a prouvé ensuite que la somme des triitnglcs d'un ordre quelconque est le quart de la somme de ceux de l'ordre précédent. Soit, par exemple, le segment ASB^ menons DI, EH parallèles à 6C , E étant le milieu de SB. On aura