Aire de la cycloïde. — On appelle cycloïdc I

courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur une droite donnt§e. Soient TMU [fig» n) une position quelconque du cercle qui roule sur la droite AB 5 M le point qui décrit la courbe; A la position où le point M est sur la droite fixe •, l'arc MT sera égal à AT , d'après le sens qu'on attache au roulement. Si B est la position où M revient sur la droite fixe , on aura AB = aira , a étant le rayon du cercle décrivant , et quand le point de contact T vient au milieu C de AB, le point M se trouve à l'extrémité D du diamètre CD perpendiculaire à AB. Ce point D est le sommet de la cycloïde, et CD en est l'axe.

Cela posé, on demande la mesure de l'aire ABD comprise entre la courbe entière et sa base.

Cette question sera résolue si l'on détermine le complément de celte aire au rectangle ABA'B' qui est égal k^Tzà^^ ou à quatre fois l'aire du cercle générateur. C'est ce complément que nous allons chercher, et nous le regarderons comme limite de la somme des rectangles compris entre les perpendiculaires successives abaissées des points de la courbe sur A'B'.

Soient M, M' deux points infiniment voisins pris sur la cycloïde; MK, M'K' perpendiculaires à AB5 MR, M'R' des parallèles à AB qui .rencontrent en N, N' le cercle décrit sur CD comme diamètre. Comparons les deux rectangles MK', INR'; leur rapport est

MK.MH QU jŒ

NR.M'H ^" MQM'h'

et sa limite est égale au produitde — - par la limite du

MH rapport rr;—* Or nous allons montrer que cette dernière

est précisément — ~? d'où résultera que la limite du rapport des deux rectangles MR', NR' est l'unité; ce qui ramènera l'aire cherchée à celle du cercle CD.

DES QUANTITES CONSIDEREES COMME LIMITES. 5q

En elTet, le cercle mobile viendra dans la position qui amène le point M dans une position quelconque, en le faisant d'abord tourner autour de son centre immobile, ce qui amènera d'abord M en une position I; puis transportant le système parallèlement à ÂB, d'une quantité égale à l'arc MI y ce qui amènera le point de contact T en T', et le .point décrivant en M', en prenant TT' = MI = IM', et Ton sait que cet arc MI difière de sa corde d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même, puisqu'on a démontré dans la Trigonométrie que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde, ou à son sinus, ou à sa tangente, a pour limite l'unité.

En nommant a l'angle de la corde MI avec MH, on aura

MH = corde MI . cos a. -f- MI ,

M^H= corde Ml.sina ; donc

MH cos g MI

M' H sin a corde MI . sin a

Passant aux limites, et observant que — , a pour li-

mite I , et que l'angle a a pour limite l'angle M que fait MH avec la tangente au cercle en M , on aura ,. MH cosM I i-f-cosM i„

lim. — — = -r--- + -r-rz = r-rr = COt - M .

M' H smM sin M smM 2

= taDgQUM=^,

comme nous l'avions annoncé.

Ainsi l'aire A A'Dsera égale à celle du demi-cercle CND, puisqu'elles sont les limites de sommes de rectangles tels, que la limite du rapport de deux correspondants quelconques est l'unité. La somme des deux aires AA'D , DBB' est donc égale à celle du cercle générateur, et, par conséquent, l'aire ADB est égale à trois fois celle de ce même cercle.

Si Ton ;ie voulait mesurer qu'une portion de l'aire

6o LIVRE I.

AA'D, on voit qu elle serait équivalente à la portion correspondante du demi-cercle CD.

38. Descartes a donné plusieurs démonstrations trèsélégantes dé cette proposition. Nous nous bornerons à en rapporter une.

Soient G {fig» 12) le milieu de la base de la cycloïde, A une de ses extrémités , CD le diamètre du cercle générateur, O son centre 5 le triangle ADC sera équivalent au cercle générateur. Pour évaluer le segment ASD, soient deux points quelconques T, T' équidistants de A et C ; M, M' les points de la courbe correspondants aux points de contact T, T' du cercle générateur avec la base , on aura, d'après l'égalité des arcs de cercle MT, M'Tj ,

HT=H'T, = DP', IH = rH'; donc

MI -f- M'I' = MH + M'H' = NN'.

La somme des deux cordes MI, MT du segment ASD, équidistantes de la parallèle hOU à la base, étant égale à la corde NN', il s'ensuit que, si l'on partage AC en parties infiniment petites par des couples de points dans les mêmes conditions que T, T', le segment ASD pourra être considéré comme limite de la somme de rectangles ayant pour bases les différentes cordes telles (Jue MI, MT, et pour hauteur les distances de deux consécutives, et la somme de deux rectangles quelconques équidistants de la droite LL' sera égale au rectangle du cercle O, compris entre NN' et la corde infiniment voisine correspondante à celle qui suit MI. Or la somme de ces derniers rectangles a pour limite le demi-cercle LCL' \ donc le segment ASD est équivalent aii demi-cercle générateur, et l'aire de la demi-cycloïde vaut une fois et demie celle de ce cercle. Donc l'aire de la cycloïde est triple de celle du cercle générateur.

DES QUANTITES COTfSlUEREES COU ME LIMITES.