APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A QUELQUES EXEMPLES
33. Aire du segment parabolique, — Cette question nous oflfrira des exemples de procédés très-dîvers qu'on peut employer dans la recherche des quadratures, et donnera une idée de la variété des ressources que présente la méthode infinitésimale.
Première solution. — En rapportant la parabole au diamètre AB [fig. 6) de la base CD du segment oblique donné, et à la tangente AY parallèle à cette base, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses , et l'équation de la courbe est de la forme
Coupons la surface par des parallèles à A Y \ l'aire ADC pourra être considérée comme limite de la somme de parallélogrammes intérieurs qui seront divisés en deux parlies égales par le diamètre AB \ de sorte que les deux aires ABC, ABD, étant limites de sommes égales, sont équivalentes. Il suffit donc de calculer la moitié ABC.
On connaîtra l'aire ABC si l'on connaît son rapport au complément AEC de cette aire au parallélogramme ABCE \ et pour cela , nous comparerons deux parallélogrammes correspondants PMHP, QMKQ'des sommes qui ont pour limites ces deux aires. En désignant par a:, y les coordonnées du point quelconque M , et par ^ et ^ les accroissements qu'elles subissent quand on passe de Ma
DES QUAKTlTis CONSIDI^RKCS COMME LIMlVxS. 4?
M'y on aura
PMHP^ Xà QMKQ'~"x>fr'
et l'on a , par l' équation de la courbe,
jr^ = 2px, {f + Ay=iip(x'{'h)y d'où
On tire de là A , au moyen de ft, et le rapport cherché
-- devient xA
•'^l—ii 1 ou 2 H :^«
^pX 2px
Ce rapport tend donc vers la limite 2 lorsque h tend vers zéro. Les deux aires ACB, AEC sont donc les limites de sommes d'infiniment petits tels, que le rapport de deux correspondants quelconques tend vers la même limite 2 : donc, d'après les principes .démontrés (n** 26), le rapport des aires ACB, AEC est précisément 2,
Ainsi Faire ACB est les deux tiers du parallélogramme
AECB-, et l'aire proposée ACD est les ^ de ce même parallélogramme, où du triangle rectiligne ACD, conmie Archimède Ta démontré le premier.
Deuxième solution. — Il est facile de calculer directement Taire AEC, qui est la limite de la somme des parallélogrammes QMKQ' ou QHM'Q', dont l'expression générale est xk sin A , A désignant l'angle YAX. k désignant l'accroissement successif de y^ il est nécessaire d'exprimer x au moyen de y; ce qui donnera pour expression d'un quelconque des parallélogrammes
~ ^ — Or si l'on suppose dans ce cas-ci que les hauteurs des parallélogrammes soient toutes égales, ce qui
4^5 ' uvmE I.
éult inutile dans la solution précédente, les yaleurs successives de y seront
et Ton aura
nJt=:AE, GO (/i4-i)ifr = AE,
suivant qu'on prendra les parallélogrammes QM' ou QK, ce qui est indifférent.
U s'agit donc de trouver la limite de la somme
/-*sinA. . ^, ,.
lorsque n croît indéfiniment, et que h. décroît en même temps de telle sorte que l'on ait toujours nk = AE.
Or Archimède a donné pour la sommation des carrés des nombres naturels une formule qui, écrite avec les signes employés par les modernes , donne
Il faut donc trouver la limite de l'expression suivante Â^sinA /i(/H- i)(2/i -h i)
ou
AE(AE + i)(2AE -h A-)sinA
lorsque k tend vers zéro. Cette limite est évidemment
AE . sinA AB.AEsinA
^ o ou
en observant que = AB.
L'aire AEC est donc le tiers du parallélogramme ABCE ;
DES QUANTITÉS CONSIDÉKÉES GOMMK LIMITES. 4?
Cl l'aire ABC en eist les deux tiers, comme nous l'avions trouvé par le premier procède.
Troisième solution. — Celte solution aura l'avantage de donner un exemple d'un mode de décomposition trèsdiflerent des précédents. Nous y considérerons une aire comme limite d'une somme d'aires infiniment petites déterminées par des droites tangentes à une fnéme courbe.
Soient A ce [fig- 7) le segment parabolique; AB le diamètre, CD la tangente en C, d'où résulte AD= AB-, nous allons comparer les deux aires ACB,' DAC.
Nous considérerons ACB comme limite d'une soinme de trapèzes inscrits PMM'P', dont les côtés PP' situés sur AB tendent tous d'une manière quelconque vers zéro.
Quant à l'aire DAC , nous mènerons en M et M' les deux tangentes MT, M'T', d'où résultera AT = AP, AT' = AP', TT' = PP'. Si par le point de rencontre R de ces tangentes on mène une parallèle à AB , on aura le diamètre des cordes MM' qui passera par conséquent par le milieu de MM'; de sorte que l'aire du triangle TRT' sera la moitié de celle du trapèze PP'MM'. Or il est facile de reconnaître que Taire DAC est la limite de la somme des triangles T'TR. En effet , cette aire est exactement la somme des aires comprises entre chacun des arcs MM', la tangente M'T', la base T'T et la tangente TM, terminée en M. Mais chacune de ces aires diilère du triangle correspondant T'TR d'une quantité infiniment petite par rapport à lui , lorsque PP' tend vers zéro ; car cette différence est moindre que le triangle rectiligne MRM' dont le rapport au triangle T'RT est celui des rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en R , qui sont supplémentaires ; rapport qui est évidemment infiniment petit. Donc l'aîre DAC est la limite de la somme des triangles T'RT.
Cela posé, les deux aires ACB, DAC étant limites Ae.
bO LIVRE I.
sommes d'infiniment petits qui sont dans le rapport de 2:1, seront elles-mêmes dansée rapport. Donc ACB est les deux tiers du triangle DBC , ou du parallélogramme construit sur AB et BC5 ce qui rainène aux résultats pré-cédemment obtenus.
34. Généralisation du problème. — Au Heu de Péquation particulière y^ = ^px^ prenons Téquation plus générale y^ = px", n et m étant des nombres entiers quelconques 9 positifs ou de signes contraires. Les courbes qu'elle représente seront paraboliques dans^ le premier cas; dans le second, elles seront des hyperboles ayant les axes de coordonnées pour asymptotes.
i^. La courbe représentée par Téquation j" = pjt:"% m et 71 étant positifs, passe par l'origine, ^l nous nous proposons de mesurer l'aire comprise entre un arc AM {fie- ^) ^^ '^* coordonnées MB, AB de son extrémité M.
Pour cela, nous chercberons le rapport des deux aires AMB, AMC5 et, à cet effets nous comparerons deux parallélogrammes correspondants KP', NQ', éléments infiniment petits des sommes dont les limites sont AMB, AMC. En désignant par x, ^^ les coordonnées de N, par A , k leurs accroissements en passant de N en N', le rapport des deux parallélogrammes sera
•^^ et sa limite sera - lim. -r* Pçur obtenir la limite de œk X . k
j> il faut exprimer que les deux points sont sur la
courbe , ce qui donne
Développant les puissances, «et supprimant les premiers termes des deux membres qui se détruisent, il vient
k {nj"-' + P) = h{mpx'^-' -h a),
DKS QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. Sï
(3 représentant une somme de termes qui renferment A depuis la première puissance jusqu'à la (n — i)'''^ , et a une somme 3e termes renfermant h depuis la première puissance jusqu'à la (m — i)'*"»». On tire de cette équation
et , par conséquent,
lira. -
k mpx^
La limité du rapport des deux parallélogrammes est donc
nr^ n
-^ ou —
mpjif'^ m
Donc aussi le rapport des deux aires AMB, AMC est — ;
l'aire cherchée AMB est donc au parallélogramme ABMC
,1 n . hah sin A. . ,,
dans le rapport : et Sa valeur est j si 1 on
désigne par a , & les coordonnées de M et par A F angle des axes. Si Taire , au lieu d'être prise à partir de l'origine, l'était entre deux ordonnées correspondantes aux abscisses a^a'^ elle aurait évidemment pour expression
^(«'^'fli5»)sinA.
2^. Si les deux exposants sont de signes contraires , on peut mettre l'équation sous la forme -
^n jjm -— ^ ^
en supposant m et,/» positifs.
Les deux parallélogrammes MP', MQ' [fig. 9) , éléments correspondants des sommes qui ont pour limites
Y h les aires NN'BB', NN'CC, ont pour rapport — ^^ /* ^^
5a LiVEt I.
A étant de signes coutraires et satisfaisant à ] équation
ou
/3 représentant an ensemble de termes renfermant k à la première puissance ou à des puissances supérieures ; et a un ensemble de termes renfermant A à un degré égal ou supérieur à Tunité.
Effectuant le produit et supprimant les termes y'*'jc"* et p qui se détruisent , il vient
( «r"~' -4- p) kjc^-h ( w^-* -h a)hy
-f- (wj»-' -h p) (mx^-' -t- a)XA = o.
Divisant par k et prenant les* limites, on trouve
d'où
h nx
hm. - = — — .
k my
Le rapport des deux rectangles MP', MQ' a donc pour limite — , et , par conséquent , le rapport des aires NN'BB',
NN'CC est -.
Il est facile d'avoir une seconde relation entre ces deux aires.
En clFct, la première, ajoutée au parallélogramme AN, forme la mènie figure que la seconde ajoutée au parallélogramme A^'\ donc la différence de ces aires est égale à la dillerence de ces deux parallélogrammes, ou à { a*V — ah) sîn A , si Ton désigne par a, ft et a\ V les
DES QUANTITÉS COMSlDSBéKS COMME LIMITES. 53
coordonnées des extrémités N, N'. On trouvera ainsi NN'BB' = — ^ ia'b' ~ ab) sin A.
3S. Exemple d'une loi particulière pour les bases des parallélogrammes élémentaires, — Comme les bases infiniment petites des parallélogrammes ne sont assujetties à aucune loi nécessaire ,* on choisit celle qui semble devoir donner les calcuU les plus simples.
Dans un des exemples précédents , nous avons supposé ces bases égales; dans d'autres, nous n'avons eu besoin de supposer aucune dépendance entre elles. Nous allons donner des exemples où la sommation devient très-facile quand on suppose que les abscisses dès points de division sont en progression géométrique et que, par suite, leurs différences , ou les bases des parallélogrammes , forment une progression ayant la même raison. Ce procédé est du à Fermât.
Soit l'équation
dans laquelle nous supposerons m quelconque, positif ou négatif^ ce qui renferme les paraboles et hyperboles que nous venons de considérer. Cherchons l'aire comprise entre un arc quelconque MM' (fig- lo) de la courbe, les deux ordonnées extrêmes MP , M'P' et l'axe des x-^ et , pour plus de simplicité , supposons les axes rectangulaires. Soient a, £ les coordonnées de M; a', ft' celles de M'. Partageons PP' en n parties tendant vers zéro , et telles, que les abscisses de tous les points de division forment une progression géométrique
a, aq, aq^ ,..., açf», on aura
a' = fl^";
de sorte que n étant déterminé , q s'ensuivra , et q tendra vers Tunitc lorsque n croîtra indéfiniment j de sort©
54 LIVEE I.
que la distance de deux points consécutifs tendra vei:*s zéro. L'expression générale de cette distance sera
«7 '■■*■' -r «ç** ou a {q — i) y'^*
Elles formeront donc une progression géométrique ayant; pour premier terme a (ç — i) et pour raison g.
Or ces distances doivent être multipliées par les or-*données successives qui seront aussi en progression géorinétrique, puisqu'elles ojxt pour expression générale px^y et que Içs valeurs de x que l'on considère sont en progression géométrique. Les rectangles élémentaires auront donc pour mesure le produit des termes correspondants de deux progressions, et formeront , par conséquent, une nouvelle progression. On pourra donc avoir l'expression de la somme de ces rectangles , et il ne s'agira plus que de calculer la limite de cette expression.
La base du rectangle dont la première abscisse est aq'' §era a [q — i)^'*? sa hauteur paTq'^'^ et sa surface pa'^'^^ (q — i) ^t"*+'^'*. La somme de ces rectangles sera
Qu, en sommant cette progression géométrique dont la^ raison est q""^\
ou, à cause de aq*^ = a\
il ne reste donc plus qu'à trouver la limite du rapport
J^, t lorsque q tend vers l'unité; ce qui n'offre *
aucune difficulté. Nous distinguerons deux cas , suivant que w -f- 1 sera positif ou négatif.
1°. Soit d'abord în -|- i positif et représenté par le
rapport de deux entiers quelconques — ? il s'agit de
OSS QUANTITÉS CONSIDiaÉES GOMME LIMITES. 55
trouver la limite de y quand q tend vers i, ou,
en posant y* =^, celle de ^ > quand t tend luimême vers Tunité. Remplaçant t par i -f- a , « tendra vers zéro , et le rapport précédent devient
Divisant par a les deux termes , et faisant a = o , on aura la limite de la fraction, qui sera
Donc l'aire cherchée sera
î-L- 1 ou ■
2®. Soit maintenant m -j-li = , il faudra trouver
la limite de — ou de — q* ^ --
Or q' a pour limite i, et, d'après le calcul précédent, le second facteur a pour limite - ou
La limite de la fraction en question est donc ; —
et Taire aura encore pour expression
f^ L ou «
m 4- i OT -f- 1
Remarque. — L'aire dont nous venons de trouver l'expression étant la limite de la somme des rectangles ayant pour mesure j^A ou poc^h^ h désignant la diflerenée infiniment petite de deux valeurs successives de x , suivant une loi arbitraire, il s'ensuit que la limite de la somme Sa:'" A, lorsque x passe de la valeur a à la va-r leur a' par degrés infiniment petits quelconques h , a pour valeur, quel que soit m,
m -l-i Si Ton fait a = o et que m + 1 soit positif, cett^e expression se réduit à
/w -f- 1 36. Cette formule s'applique à toutes les valeurs positives ou négatives de m , excepté la valeur particulière
— I , qui lui donnerait la forme — Mais il est facile de
trouver la formule qui correspond à ce cas , en cherchant
la limite vers laquelle tend l'expression '■ — 9
lorsque l'on fait tendre m vers — i .
Divisant par a"*+% dont la limite est l'unité , et remplaçant m -t- 1 par u , il s'agit de trouver la limite dje l'expression
u quand u tend vers zéro.
Posons 1^1 = I rh a , a tendra vers zéro , et l'expression précédente devient -? dont on éliminera u au moyen
de l'équation, qu'on vient de poser, en introduisant la nouvelle variable a. On en tire, en prenant les loga-
rithmes ,
«log^ = log(n-«), d'où u = Ml+lï,
logîa
alog-
et il reste à trouver la limite de ; — ; : ou celle de
log(i-4-a)
i — ; — : — r qui peut se mettre sous la forme
ou
♦,i Vlog(i-f-a) , , -
« ^^ ^ log(i-f-a)«
Mais on a vu dans V Algèbre (voir Note P®) que lorsque a
tend vers zéro, suivant une loi quelconque, ( 1 4- a)* tend vers une limite déterminée , que l'on désigne ordinairement par la lettre e , et qui n'est autre chose que la base du système de Néper, dont la valeur incommensurable est e=z 2,71828182. . . .
La limite de -^ — est donc -t — -y et l'expression
u loge *
a pour limite
/^log-
loge
Telle est l'expression de l'aire comprise entre deux ordonnées de la courbe dont l'équation est
^X = Py et qui n'est autre que l'hyperbole du second degré rapportée à ses asymptotes.
Elle est équllatère, puisque nous avons supposé les axes rectangulaires ; mais il aurait suffi d'introduire le facteur sin A pour avoir le cas général.
