Mais il peut arriver que les parallèles menées par

tes points d'une des sections ne soient pas toutes intérieures ou toutes extérieures à la tranche du solide y et alors le raisonnement précédent ne suffirait pas. Dans ce cas , on concevra un second système de plans parallèles à une seconde direction , qui décomposeront une quelconque des premières tranches en solides infiniment petits dans deux sens , comprises entre quatre plans parallèles deux à deux et infiniment voisins. Jusqu'ici on n'a pas altéré les éléments du solide ; mais ces filets infiniment étroits sont encore terminés à la surface du solide et ne seraient pas plus faciles à évaluer que ce solide entier. Or, en en retranchant ou en y ajoutant des parties infiniment petites par rapport à eux-m^èmes , on peut les réduire à des parallélipipèdes. Il suffit pour cela de mener des plans parallèles à une troisième direction, et passant par les extrémités d'une des cordes ou par des points qui en soient infiniment voisins. On aura ainsi des parallélipipèdes, l'un plus petit, l'autre plus grand que le filet du solide, et dont le rapport tendra indéfiniment vers l'unité. On pourra donc substituer à ce filet l'un ou l'autre, ou tout autre parallélipipède dont l'arête finie différerait infiniment peu des leurs 5 par exemple, et c'est ce qui sera le plus simple, on pourra prendre pour arêtes les cordes mêmes de la section du solide par les premiers plans. Ainsi le rapport de chacun de ces parallélipipèdes au filet correspondant, étant aussi près de l'unité qu'on le voudra , il en sera de même du rapport de leur somme à la tranche du solide. Or ces parallélipipèdes sont dans les mêmes conditions, relativement à la tranche du cylindre qui aurait pour base la même section du solide , et ses arêtes dans une direction arbitraire 5 et, par conséquent, le rapport de cette tranche à celle du solide a pour limite l'unité. On peut donc énoncer dans tous les cas cette proposition -

DES QUANTITÉS COMSIDiAÉES COMMS LIMITES. 65

Tout solide peut être considéré comme la limite de la somme de cylindres ayant pour bases les sections par des plans parallèles infiniment ^voisins, et pour hauteurs les distances successives de ces plans.

Ce mode de décomposition est surtout employé lorsque Téquation de la surface est donnée en coordonnées rectilignes^ alors les directions que Ton choisit pour les plans sécants sont celles des plans coordonnés.

Lorsque Toil a trouvé l'expression de Taire de la section du corps par un plan quelconque , parallèle par exemple au plan des j^ et z^ le produit de cette aire par la distance au plan infiniment voisin est la mesure du parallélogramme dont un côté serait exprimé par le même nonoibre que Faire , et serait à une distance du côté . parallèle égale à celle des deux plans \ d'où Ton voit que la mesure du volume est ramenée à celle de Taire d'une courbe dont Tordonnée serait exprimée par la fonction de .r qiil représente Taire de la section du corps.

Si la surface était donnée par une équation entre des coordonnées polaires, le mode de décomposition serait différent. Nous aurons occasion de nous en occuper plus tard, et nous nous bornons ici à cette simple indication. Les éléments que nous avoDS considérés ne sont infiniment petits que dans un seul sens, ou deux au plus. Dans un grand nombre de questions qui ne sont pas purement géométriques , il est nécessaire de décomposer les volumes en éléments infiniment petits dans tous les sens. Dans ce ca%, on décomposera les filets infiniment petits dont il a été question ci-dessus , par une série de plans infiniment voisins et parallèles au troisième plan coordonné.