APPLICATION A LA* MESURE DE QUELQUES VOLUMES
Solides de révolution.
42. Paraboloide de révolution. — Une parabole tournant autour de son axe AX {fig» i4) ? ^^ demande le volume engendré par Paire comprise entre un arc quelconque AB, Tordonnée BC et Taxe AC.
Soient a, i les coordonnées de B, et j^*= ^px l'équation de la parabole ; partageons AC en un nombre n indéfiniment croissant de parties égales a. JLe volume cherché sera la limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteur a , et pour bases les cercles ayant pour rayons les différentes ordonnées MP de la parabole menées par tous les points de division de AC. L'expression générale du volume d'un de ces cylindres est Try'a ou aTrpxa;
leur somme a^Sxa a pour limite npi: — ou pna^. (Voir
On peut donc dire que ce volume est égal à celui d'un cylindre qui aurait pour base le cercle dont le rayon est AC , et pour hauteur le demi-paramètre. On peut encore donner une autre forme à l'expression précédente, en y
remplaçant pa par son égal — ? elle devient > et est
égale à la moitié de la mesure du cylindre qui aurait BC pour base et AC pour hauteur, ou à trois Ibis la moitié du cène qui aurait même base et même hauteur. C'est sous cette dernière forme qu'Archîmède a présenté cette proposition.
Dits QDANTitÉs coirsmÉfiiEs coMmb limites. 67
43. Segment d'ellipse tournant autour de sa corde. — Soient une ellipse ayant pour équation
D'D {fig' i5) une corde parallèle à Taxe B'B, 2/ sa lon-^ gueur, d sa distance AE au centre, et  Taire du segment DGD' qui tourne autour de sa corde fixe DD' \ proposonsnous jde mesurer le volume engendré V. Nous le considérerons comme limite de la somme des cylindres qui auraient pour hauteurs les subdivisions infiniment petites égales de D'D, et pour bases les cercles ayant pour bauteurs les perpendiculaires MQ abaissées sur DD' par les différents points de Tare D D', qui correspondent aux points de division de DD'. Soient n le nombre des points de division de DE et a leur distance^ la mesure d'un cpielconque des cylindres infiniment petits sera
ir(/— rf)*a OU 7r(Jr»-.24r-^«^)a>
et leur somme peut se décomposer .comme il suit , OU, remplaçant y^ par 6* ,
«r (^»4-<^)2a 5- Ix^cl — ititdlyK).
Or
2a = 2/, lim.2ja = A; et , d'après la r^narque du n° 35,
On aura donc
On aurait le volume de rellipsoïde tout entier en faisant J = o, / = a, et l'on trouverait ainsi
et si & = a, on a ^Tia' pour la mesure du volume de la sphère dont le rayon est a,
44. Volume du tore, — On appelle tore le solide engendré par un cercle qui tourne autour d'une droite extérieure, située dans son plan.
Soient O [fig' i6) le centre du cercle générateur, R son rayon , AO = a \ l'équation du cercle sera
et le volume est la limite de la somme des volumes engendrés par les rectangles MINIK, qui sont les différences des cylindres infiniment petits engendrés par les rectangles QI , QK. L'expression générale de cette différence est
V (qn' — QM* ) MI = w(QN -h QM) ( QN — QM}MI = 27r«.MN.MI = 27rfl.MIKN.
Or la limite de la somme des rectangles MIKN est l'aire du cercle. Donc le volume du tore est égal à la surface du cercle générateur multipliée par la circonfé-rence décrite par son centre.
45. Ellipsoïde de rèi^olution. — Supposons qu*une ellipse tourne autour de son axe AB =.ia (fig. 17) , et proposons-nous de calculer le volume du segment détaché par un plan* perpendiculaire à cet axe, mené à une distance AD = d du sommet A.
Soit l'équation de Tellipse rapportée au sommet A
DES QUANTITES GOirSIDÛLSKS COMMK LIMITIS. 69
le Tolume sera la limite de
Soit n le nombre des points de divisio de AD, oq aura
Nar=rf;
on retombe ainsi daps des calculs qui se sont déji plusieurs fois présentés, et l'on trouvera (n® 35 )
d'où
, lini. 2xa = — 5 lim. 2x'a = -5- > 2 3
lira. 2(2/ix — x') a = flrf'— ^ = flf ^ — -.
On aura donc pour expression du volume cherché V,
Ce résultat coïncide avec celui d'Archimède. En effet, il énonce la proposition de la manière suivante :
Le segment de l'ellipsoïde est au cône de même base el même hauteur, comme le demi- axe de l'ellipsoïde ajouté à la hauteur du segment complémentaire à l'ellipsoïde est à la hauteur de ce dernier.
Or on aperçoit facilement que les deux formules sont identiques.
