Si Ton désigne par v^ la vitesse, on aura

d'où il suit que -y diffère de u d'une quantité qui tend

vers zéro en même temps que h, La désignant par w, on aura donc

MN = vh^ usli.

Donc, toutes les fois que MN devra être employé comme terme d'un rapport ou d'une somme dont on n'ait à considérer que la limite, on pourra supprimer le terme wA, qui est infiniment petit par rapport à l'A, et prendre \fh comme mesure de l'espace MN parcouru dans le temps h \ c'est-à-dire que dans tout mouvement varié l'espace parcouru est le produit de la vitesse par le temps, pourvu que ce temps soit infiniment petit. Ce que nous avons nommé vitesse joue donc le même rôle dans le mouvement varié que ce que l'on avait d'abord appelé

DES QUANTITÉS CONSIDÉRKSS COMME LIMITES. I Sg

vitesse dans le mouvement uniforme, mais à la condition de ne considérer que des espaces infiniment petits.

Si dont; on avait à calculer l'espace parcouru pendant un temps fini par un point mobile dont ou connaîtrait la vitesse en fonction du temps , il suffirait de chercher la limite de la somme des produits des intervalles infiniment petits dans lesquels on décomposerait ce temps, par la vitesse positive ou négative au commencement de ces intervalles respectifs. Car ces produits ne dilTéreraient des espaces réellement parcourus dans les intervalles correspondants, que de quantités infiniment petites par rapport à ces espaces mêmes.

Cest cette identité dans l'emploi de la vitesse, pourvu qae les temps soient infiniment petits ^ qui justifie Textension donnée au sens de ce mot , et non pas seulement le droit que Ton a en général de fixer arbitrairement le sens des mots que Ton introduit.

402. accélération. — Pour ne pas entrer dans des détails trop spéciaux de mécanique, nous nous bornerons ici à considérer le mouvement varié rectiligne.

Le plus simple de tous les mouvements variés est celui où la vitesse augmente toujours de quantités égales dans des intervalles de temps égaux , quels qu'ils soient. Un pareil mouvement est dit uniformément accéléré^ et Ton y donne le nom spécial d'accélération, à Taccroissement positif ou négatif de la vitesse dans l'unité de temps , ou au rapport d'un accroissement quelconque de la vitesse au temps employé à le produire.

Considérons maintenant un mouvement rectiligne varié, où la vitesse i^ est représentée par une fonction quelconque <f [t) du temps. Soient h un accroissement infiniment petit donné kt^k l'accroissement correspondant de ^'. Concevons un inouvement uniformément

l4o UTftE I.

accéléré tel, que dans le même intenralle de temps A, il y aorait le même accroissement de vitesse A-; -- sera Tac-

célération dans ce mouvement, ou raccélération moyenne dans le mouvement réel considéré pendant Tintervalle h.

La limite de cette accélération moyenne ^9 qui est la

dérivée de v par rapport à £, est ce que l'on nommé V accélération dans le mouvement donné, à Tinstantquc Ton considère.

Je 103. Cela posé, j ayant pour limite f'(£) , on a, eu

désignant par o» uife quantité infiniment petite,

d'où

Donc on peut remplacer A* par Af'(f) lorsque k est uu terme d'un rapport ou d^une somme dont on considère la limite; et par conséquent raccroissement k de la vitesse s'obtiendra comme dans le mouvement uniformément accéléré, en multipliant l'accélération par Taccroissèment du temps, mais à la condition que cet accroissement sera infiniment petit.

On voit par là que Faccroissemcnt de la vitesse dans un temps fini peut être considéré comme la limite de la somme des produits des parties infiniment petites de cet intervalle par les accélérations correspondantes. C'est ce que Ton exprime quelquefois en disant qu'un mouvement varié quelconque peut être considéré comme composé d'une infinité de mouvements uniformément variés.

Lorsque nous avons calculé au contraire raccroissement de Fespace parcouru, le mouvement était considéré comme composé d'une infinité de mouvements uniformes.

11 eut été inutile, dans ce cas, de pousser rapproximation plus loin dans les élémenls infiniment petits; la limite de la ^omme aurait été absolument la même.

iOé.Poids spécifique et tlensàé dans les substances non homogènes, — On appelle poids spécifique d'une substance homogène son poids sous Tunité de volume, ou le rapport du poids d'un volume quelconque à ce volume. Supposons maintenant une substance non homogène, mais dont la nature varie d'une manière continue; et nous ferons consister cette continuité en ce que si l'on considère dans le corps deux volumes infiniment petits, égaux et infiniment voisins, le rapport du poids au volume variera infiniment peu de l'un à l'autre. Cela posé, nous appellerons poids spé^ cifique en un point donné d'un corps non homogène, la limite du rapport du poids au volume d'une partie du corps renfermant ce point, et dont toutes les dimensions tendent indéfiniment vers zéro. Cette limite sera une fonction des trois coordonnées du point. On reconnaîtra facilement, parles mêmes considérations que dans les questions précédentes, qu'un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite ^ par rapport à lui-même, du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouvant être négligée sans erreur dans les résultats des questions qui ne dépendent que des limites des sommes ou des rapports, il s'ensuit que le poids spécifique, tel que nous l'avons défini, joue le même rôle dans le cas des corps non homogènes que le poids spécifique défini d'abord dans les corps homogènes ; seulement, il ne faut l'appliquer qu'à des volumes iufiniment petits dans tous les sens.

Ainsi, par exemple, pour avoir le poids total du corps, il suffira de chercher la limite de la somme des produits

14^ LIVBE 1.

des volumes inGtiîment pclîts dans tous les sens dans lesquels on décomposera le volume du corps, par le poids spécifique de la substance, en un point quelconque de la pai-tie correspondant respectivement à cbacun de ces éléments de volume. En substituant dans ce qui précède les masses au poids , il faudra substituer au poids spécifique la densité y el toutes les conséquences précédentes se reproduiront si identiquement , qu'il est inutile de s'y arrêter.

lOo. Application aux centres de grax^ilé des corps non homogènes. — On suppose donnée la fonction des coordonnées qui exprime le poids spécifique en un point quelconque. Il suffira donc de décomposer le corps en éléments infiniment petits dans tous les sens, de prendre pour poids de chacun d'eux le produit de son volume par le poids spécifique rapporté à l'un quelconque de ses points ou à tout autre point infiniment voisin, lequel pourra aussi être pris comme s'il était le centre de gravité de l'élément luîmème. Il résultera de là, soit dans les poids, soit dans les moments de ces éléments, des erreurs infiniment petites par rapport aux poids et aux moments exacts, et par conséquent la limite de la somme des poids sera le poids même du corps, et la limite de la^omme des moments, par rapport à un plan quelconque, sera exactement égale au moment de la résultante. Les trois coordonnées du centre de gravité du corps seront donc encore déterminées par des limites dt; sommes d'infiniment petits. Seulement il faut remarquer que dans le cas des corps homogènes, nous avons pu les décomposer en éléments infiniment petits dans deux sens seulement, tandis que les corps non homogènes doivent être décomposés en éléments infiniment petits dans tous les sens.

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