CHAPITRE XVI
REMARQUES ET THÉORÈMES PROPRES A FACILITER l'emploi des INFINIMENT PETITS.
106. Des termes que Von peut négliger dans les équations. — Lorsque les deux membres d'une équation ont des limites finies et que ce sont ces limites que Ton a à considérer, on peut évidemment se dispenser de tenir compte des termes dont la limite est zéro, quoiqu'en les supprimant l'équation devienne inexacte. Comme on ne cherche que Féquation aux limites et qu'elle n'est pas altérée par là, les résultats sont exactement les mêmes, et Ton s'est débarrassé quelquefois d'une multitude de termes très-compliqués. Ainsi toute suppression ou altération quelconque qui n'a d^ autre effet que de faire négliger des termes infiniment petits dans une équation finale dont les deux membres ont des limites finies y peut être faite sans aucune erreur dans les résultats,
107. Si les membres d'une équation avaient des limites ^ales à zéro, et se composaient d'infiniment petits de différents ordres , par exemple du premier et d'ordres supérieurs , on peut , par la même raison , se borner à écrire les termes du premier ordre. En effet, une équation dont les deux membres ont pour limite zéro n'est pas destinée à rester sous cette fornae, puisqu'elle conduirait à l'égalité insignifiante 0 = 0. On conserve souvent cette forme pour la commodité de l'écriture, mais on doit toujours en revenir aux quantités finies. Si c'est en divisant les
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deux membres par un infiniment petit du premier ordre, les termes d'ordre supérieur au premier conduiront à la limite zéro, ceux du premier à des limites finies, et ron se retrouve dans le cas précédent. Si cette équation est employée pour donner l'expression d'un infiniment petit au moyen des autres, et que cet infiniment petit doive être un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite, on sait qu'où peut l'altérer, sans erreur dans les résultats, de quantités infiniment petites par rapport à lui-même. On a donc le droit de négliger, dans l'équation d'où l'on tire sa valeur, tous les termes d'un ordre supérieur au sien.
11 est évident que dans cette même équation on peut, au lieu des facteurs infiniment petits du premier ordre , substituer d'autres quantités dont le rapport avec eux ait pour limite l'unité, ou en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux^ car ce n'est qu'ajouter ou supprimer dans les membres de l'équation des termes d'ordre supérieur au premier.
Ces raisonnements s'appliquent également aux équations dont l'ordre le moins élevé est supérieur au premier. On peut généralement se dispenser d'écrire ceux d'un ordre plus élevé que le moindre.
Remarque. -^ Il y a cependant une attention à avoir : il peut arriver que dans une équation non simplifiée il y ait des termes du premier ordre et d'ordres supérieurs , et qu'après avoir exécuté les opérations indiquées ceux du premier ordre se détruisent entre eux. Dans ce cas , si Ton a négligé des termes du second ordre, et que pour employer l'équation résultante on divise ses Jeux termes par un infiniment petit du second ordre, afin de ne pas arriver à o = 05 ou que Ton tire de cette équation la valeur d'un infiniment petit du second ordre, qui doit entrer comme terme d'un rapport ayant une limite finie, il est évident
D^S QUANTITÉS CONSIOÉAÉES COMME LIMITES. l45
que les résultats sont inexacts, puisque les termes supprimés y auraient introduit des quantités finies.
Si, par exemple, on avait l'équation suivante, dans laquelle h et k désignent des quantités infiniment petites du premier ordre ,
sin{r -\- h) — sin x -h ces (jç -h X j — cos r
-h X sin^— hcosx-h AX'4- B^* -hCA' = o,
et que dans les calculs précédents on eût négligé des termes .qui feraient disparaître A/r*, il y aurait erreur dans les résultats si Ton se servait de cette équation pour en tirer la valeur de A ou de fc et la substituer dans une autre. Cela tient à ce que, non-seulement les quantités finies disparaissent de Téquatioii , mais en groupant convenablement les termes on reconnaît que tous les termes sont du second ordre et que, par conséquent, on n^avait pas le droit de négliger A A*.
En effet,
sin (x -\- h) —
- sin x =
2 sin
COS ix
cos(^4-^-) —
- cos X =
— 2 sin
- Sin
donc
sin (x -hà) — sinx —
h cos.r =
:^2 sin
COS Ix
■ h COS j:.
Mais , puisque sin - et - ont pour limite de leur
rapport l'unité, leur différence est infiniment petite par rapport à l'un quelconque des deux ; donc , en désignant par M une cpiantité infiniment petite, on a
sin - = — h w /? ^
et, d'après ce qu'on a vu dans la trigonométrie élémen- I. * lO
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taire, w est du second ordre; de plus, cos ( a -f - \
diffère de cos x d'une quantité infinimeut petite du pre— mier- ordre, d'après Je théorème général (n** 71) ; en la désignant par a , on peut poser
cos donc
. h 2 sin - cos
\x A j == cos X H- a ;
( j: -h - ) = 2 ( --h w/* ] (cos j: -h a)
h cos .r -h 2wA cos a: -h Aa -f- 2w/ia.
En en retranchant h cos x, il reste donc des produits de deux ou de trois infiniment petits , dont le plus grand est du second ordre. Il en serait de même de Tensemble des trois termes
cos [y '\- k) — cos ^ -h ^ sin ^- .
Le premier membre de Téquation pouvant ainsi être considéré comme composé de termes du second ordre et d'ordres supérieurs , si Ton néglige des termes du second ordre, qu'on divise ensuite par A*, ou par tout autre infiniment petit du second ordre , et qu'on passe aux limites , on aura une équation fausse, puisqu^il manquera des termes finis. Et , par la même raison , on n'aurait pu l'employer à donner la valeur d'une des quantités qui y entrent.
Triangles infiniment petits,
108. 1°. Supposons un triangle ABC dont les trois angles tendent vers les limites a, S, y et les trois côtés a, i, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles a, 6, y.
UBS QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l ^'J
Ainsi , par exemple, oii a les équations exactes
a sin A . a sin a
b sin B ' t ~ sin 6
Mais il n'y a aucun inconvénient à écrire
<7 sin a . sin a
b sm ç Rin 6
si a est un ternie d'un rapport ou d'une somme doiii
on cherche la limite: car -7 ayant pour limite -: — r en
b *' ^ sm (5
diffère d'une quantité infiniment petite w et l'on a
n sin a b sin a ,
7 = -r-^ + «w ou tf = . - -+- ^w. c) sm 6 sin €
... T j 1 . *sina
^Ainsi en prenant, au lieu de a* la partie — ; — —^ on '^ ^ sin6
néglige une quantité infiniment petite par rapport à a,
ce qui, dans la question supposée, ne donnera aucune
erreur dans les résultats.
Or il y a souvent beaucoup d'avantage à introduire ainsi les angles limites aux angles variables^ comme nous le verrons par quelques exemples.
2°. Dans un triangle ABC dont Tangle A tend vers un angle droit et les côtés vers zéro , on peut calculer le côté c par la formule
au lieu de la formule exacte
<ï' = 6^ H- c' — 2 fcr cos A .
Car cos A tend vers zéro ^ donc 2 bc cos A est infiniment petit par rapport à aèc, et, à plus forte raison, par rapport à ft' + c*, qui est toujours plus grand que ^bc,
1^8 LIVRK I.
Ainsi a' difiei-e de b* + c' d'une quantité infinîmcDC
petite par rapport à lui-même^ ou encore t; ; a pour
limite Ttinité.
D'où il suit que . a aussi pour limite 1 unité,
ainsi que toutes les puissances de ce rapport.
On pourra donc substituer v6* -\- c^ k a toutes les fois que cette quantité sera un terme d'un rapport ou d'une somme dont on n'a à considérer que la limite.
109, Ordre infinitésimal de dii^erses lignes qu'on n soutient à considérer dans un triangle rectangle inji^ niment petit.
Soient  [fig- 45) l'angle droit du trianglejABC, dont le côté AB ou c est infiniment petit du premier ordre, ainsi que l'angle B ; AI la perpendiculaire abaissée de A sur l'hypotéuuse. On aura
AC == r tang B , AI = c sin B , Cl = c sin B tang B ,
et comme sin B et tang B sont du même ordre que B , puisque leur rapport à B a une limite non-seulement finie, mais encore égale à Tunité, il en résulte que AC et AI sont infiniment petits du second ordre, et IC du troisième.
Calculons maintenant la différence de Thypoténuse au côté adjacent à l'angle infiniment petit,
