Ordre '..^^V^j^nt la même limite. Cette propo

souvent à '•/^^vf^.(,ns assez fréquentes.

mment P' /^%"^'^ ^eux angles infiniment petits dit

, r <V^ Soient A et B {fie- 48) les deux anle cô- „l,^ ^ . ^^^^.^^^^^ Cl perpendiculaire sur

"" /V'^lns d'abord quelle serait la Umite de la "' C^'^ r^mi C , qui est la même évidemment que

>■'"' ^]Xh si o« 1»'«««'» ^^ invariable pendant que

i'"''? rendraient vers zéro.

Or^^ AI ung B

Ib "" tang A '

dor^^

AI . tangB ,. B

C donc on connait la limite du rapport des deux angles Îfiniment petits du même ordre , on aura la limite du ;ammet C, en partageant AB en raison inverse des angles

en A et B. . , . a

Supposons maintenant que le côté AB soit lui-même infiniment petit du premier ordre, et proposons - nous d'évaluer la différence entre sa longueur et la somme des deux autres côtés.

\ QUANTITES COXSlDKRtF.S COMME LINITKS. l6l

^Ism'— ?. Blsin'-

—-^ et BC — BI= ""'

cos B

''fférciices esl la différence clier-

ciles est un infiniment petit du

a. moins, puisque AI et BI sont moin-

*j qui est du premier ordre, et que sin* ~ et

.lU* - sont du second ordre. On peut même dire qu'elles

sont précisément du troisième ordre toutes deux, dans le cas supposé où A et B sont du même ordre ^ car alors les deux segments AI et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. // résulte de là qiie la différence entre AB et AC -h CB est un infiniment petit du troisième ordre au moins.

Ou, eu d'autres termes, cette différence est du même ordre que le cube de l'arc.

L'ordre de cette différence s'élèverait si les angles i'iaient d'un ordre plus élevé que le côté.

112. Triangle ayant un angle infiniment petit du premier ordre , compris entre deux côtés infiniment petits du premier ordre. — Soit A {fig* 49) l'angle donné; la somme des deux autres a pour limite deux droits. On peut maintenant faire plusieurs suppositions sur les deux f ôlés donnés.

Si la limite de leur rapport est finie et différente de l'unité, l'un des angles opposés tendra nécessairement vers zéro, l'autre vers deux droits. Car, sans cela, le rapport limite de leurs sinus serait nécessairement l'unité, contrairement à la supposition.

Supposons maintenant que la limite de leur ra})port soit l'unité. 11 peut alors se présonlcr trois cas.

l52 LIVKt I.

1°. Si leur différence est du second ordre, prenons

AB' = AB; B'C sera du second ordre. Mais BB' est du

second ordre à cause du triangle isocèle ABB' qui donne

A BB'= 2 AB sin -; ainsi BC sera du second ordre, et le

rapport -~ a une limite finie quelconque. Or Tangle B^

tend vers un angle droit-, donc l'angle B'BC, et par suite C 5 a une limite finie qui peut être quelconque et dépend du rapport de CB' à BB'.

2*^. Supposons que leur différence soit d'un ordre compris entre i et 2. Alors BB' étant du second ordre, B'C d'un ordre moindre, et BC le plus grand cèté du triangle BB'C , comme opposé à l'angle obtus B' 5 il s'ensuit que BC est du même ordre que B^C, et même que leur rapport a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant moindre que BB', qui est du second ordre, est infiniment