CHAPITRE XVII
COURBURE DES ARCS DE COURBES PLANES QUELCONQUES, ET DIVERSES PROPOSITIONS
QUI s'y rapportent.
113. La courbure d'un arc convexe est l'angle que forment entre elles les directions du premier et du dernier élément de cet arc^ c'est l'angle des tangentes extrêmes : il exprime la quantit.é dont la courbe a successivement dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc. Si cet angle variait proportionnellement à l'arc , on aurait la courbure, pour une unité de longueur, en divisant ceUe d'un arc quelconque par la longueur de cet arc.
Mais dans une courbe quelconque, si Ton divise cet angle par la longueur de l'arc, on aura seulement la courbure moyenne de cet arc , rapportée à l'unité de longueur, c'est-à-dire celle que l'on trouverait pour un arc égal à l'unité , si la courbure variait proportionnellement à l'arc 9 comme dans le cercle , et de manière à obtenir la courbure donnée pour une longueur égale à celle de Tare dont il s'agit.
Cela posé, si, à partir d'un point quelconque d'une ligne courbe , on prend un arc de grandeur arbitraire , sa courbure moyenne variera à mesure que cet arc diminuera indéfiniment-, et elle tendra vers une limite déterminée , qu'on appelle courbure de la ligne au point que l'on considère. Cette limite est, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal, la courbure d'un arc infiniment petit, rapportée à l'unité de longueur, cet .arc commençant au point que l'on considère. C'est une no-
l54 LIVRE I.
lion importante dans Tétudc approfondie de la constitution d'une courbe.
114. Si Ton considère Tinclinaison cp de la tangente sur un axe fixe, comme une fonction de Tare s pris à partir d'un point fixe quelconque de la courbe, la courbure 0) d'un arc h n'est autre chose que l'accroissement de la fonction ç correspondant à l'accroissement h de
l'arc 5^ on a donc
M étant une quantité finie dépendant de la valeur de s relative à la première extrémité de Tare et de sa longueur h. Et de même pour une fonction quelconque, si l'on changeait s en 5 -h /*i , et qu'on désignât par w, l'accroissement correspondant de w, on aurait
Si A, = A, on a
et il en serait de même pour les accroissements d'ordre plus élevé, comme nous Tavons vu en général pour toutes les fonctions (n° 74).
115. Dans un cercle, la courbure d'un arc quelconque s'obtiendrait en multipliant celle d'un arc égal à l'unité par la longueur de l'arc donné. Dans une courbe quelconque, il n'en sera plus ainsi évidemment ] mais si l'on ne considère qu'un arc infiniment petit, le produit de la courbure, en une de ses extrémités, par sa longueur, en donnera la courbure à une quantité près, infiniment pe-^ tite par rapport à elle, puisque le rapport de la courbure exacte de cet arc à l'arc même ne diffère que d'une quantité infiniment petite de la limite que nous appelons courbure en un point. De sorte que si cette courbure d'un arc infiniment petit ne doit être considérée que comme élément d'une somme dont on cherche la limite, il n'y
DES QUA?ITITÉS CONSIDÉBÉES COMME LIMITES. l55
aura aucune erreur dans le résultat^ et par conséquent, dans la recherche de la courbure d'un arc fini , d'une courbe quelconque, on peut agir de la même manière que si c'était un cercle, pourvu qu'on partage cet arc en parties infiniment petites , et que pour chacune d'elles on prenne pour courbure de T uni té de longueur la couii?ure en un quelconque de ses points.
116. Le cercle ayant jine courbure constante, il est naturel de le prendre pour terme de comparaison, et de faire connaître la courbure d'une ligne en un de ses points, en donnant le rayon du cercle dont la courbure rtt la même. Ce cercle se nomme cercle de courbure y et son rayon, rayon de courbure. Si on le place tangentiellement à la courbe au point que l'on considère, en tournant sa concavité du même côté qu elle, son centre, considéré relativement à ce point de la courbe, prend le nom de centre de courbure.
La courbure d'un cercle en un de ses points , ou la courbure d'un arc de ce cercle égal à l'unité étant le rapport de r angle de ses tangen les extrêmes ou de ses normales extrêmes à la longueur même de cet arc , sera égal Funilé divisée par le rayon du cercle, puisque nous appelons angle le rapport de Tare au rayon. Il s'ensuit donc que la courbure d^ une ligne quelconque, en un de ses points^ est égale à V unité dis^isée par le rayon de courbure en ce point,
117. Le centre de courbure est la limite du point de rencontre de deux normales infiniment voisines, — Soient , en effet, M [pg^ 5o) un point quelconque d'une courbe, MT la tangente, M'iN la tangente au point infiniment voisin M', O le point de rencontre des nonnales en M, M'. Les quatre points M, N, M', O seront sur un cercle ayant pour diamètre NO, dont la limite est la même que celle de MO ou M'O. L'arc de ce cercle compris entre M et M'
l56 LIVRE I.
diilëre de sa corde, et, par suite, de Tare MM' de la courbe, d^une quantité infiniment petite par rapport à lui-même \ on pourra donc le remplacer par ce dernier, sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports.
Mais Tangle inscrit MOM' est égal à Tare de cercle intercepté divisé par le diamètre : il est d'ailleurs égal à
TNM'. Donc -^^^, = ^, lare MNM' étant celui du arc MNM' NO
cercle. Le remplaçant par l'arc MM' de la courbe, on
aura , en passant aux limites,
,. ÏNM' i 1
lira
MM' lini.JNO lim.MO
TNM' Mais' lim. -rrrr étant la courbure en M est égale à l'unité MM
divisée par le rayon de courbure.
On voit donc que la limite de MO est égale au rayon de
courbure 5 et le centre de courbure en un point quel-
conque est la limite du point de rencontre de la normale
en ce point a^ec la normale infiniment voisine.
H8. Les courbures des deux moitiés d'un arc infiniment petit de premier ordre j ne peuvent différer que d^un infiniment petit du second, — Car si h désigne la longueur de cet arc et w', «'' les courbures des deux moitiés , on aura
a>'=rM^,
M étant une quantité finie. Mais tù" n^étant autre chose
que la valeur que prend o)' quand on change dans M, s
en 5 H — 5 on aura , par ce qui précède ,
SES QUANTITES CONSIDKRl^ES GOMME LIMITES. l57
M' étant une quantité finie. On voit donc que les courbures des deux moitiés d^un arc infiniment petit du premier ordre ne peuvent dîfierer que d'un infiniment petit du deuxième ordre.
H9. La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du même ordre que le cube de Varc. — En effet, Tare étant compris entre la corde et la somme des tangentes extrêmes, diflGère de l'une ou de l'autre de ces deux quantités, moins qu'elles ne diflTèrenl l'une de l'autre.
Or les angles de la corde avec chacune des tangentes étant moindres que celui des tangentes entre elles, lequel est du même ordre que l'arc, sont au moins de cet ordre infinitésimal. On a donc un triangle dont un côté est infiniment petit ,*et les angles adjacents sont du même ordre au moins que ce côté; d'où il suit (n° lH ) que la différence de ce côté à la somme des deux autres est au moins du même ordre que le cube du côté , ou de l'arc qui est du même ordre que le côté. Il en est donc ainsi , à plus forte raison , de la différence de Tare à la corde ou à la somme des tangentes. Ces différences seront du troisième ordre, si l'arc est du premier.
120. La différence d'un arc infiniment petit à la tangente menée à Vune des extrémités de Varc et terminée à V ordonnée menée par Vautre, est de V ordre du carré de Varc.
Soit l'arc MM' [fig* 5i), MT sa tangente terminée à l'ordonnée P'M'; il s'agit d'évaluer Tordre infinitésimal de la différence entre MT et cet arc.
Remarquons d'abord en général que la portion M'T de V ordonnée est du second ordre. Car on a la proportion M'T sinM j, ^ „,^ MM'sinM MM' sm T ' sm T
Mais nous avons vu que l'angle M est au moins du même
l58 LIVRE 1.
ordre que l'are ou la corde MM' et sin T est fini 5 donc la partie M'T d'une sécante quelconque faisant un angle fini auec la tangente est de l* ordre du carré de MM' ou de l'arc proposé.
Si maintenant on abaisse M'I perpendiculaire sur MT, MI différera de l'hypoténuse MM' d'un infiniment petit de Tordre du cube de MM' au moins (n° 109), de plus IT est de l'ordre du carré de MM', puisqu'on a
IT= M'TcosT,
et IT, étant la différence de MT à MI, est la différence de MT à l'arc MM' en négligeant un infiniment petit dé l'ordre du cube de MM'^ d'où il suit, comme nous l'avons annoncé, que cette dernière différence est de l'ordre du carré de l'arc. Elle sera donc du second ordre si l'on prend l'arc du premier.
Il en serait de même pour la tangente menée au point M' et terminée à l'ordonnée MP. L'une de ces tangentes est plus grande que l'arc , l'autre plus petite.
121. Remarque. — On peut conclure de ce qui précède que les longueurs des deux normales en M, M' terminées à leur point de rencontre O diffèrent d'une quantité qui est au moins du second ordre. Car cette différence est la partie d'une de ces normales, comprise entre le point M' et le cercle décrit de O comme centre avec OM pour rayon. Or ce cercle étant tangent à la courbe en M, il suffit d'appliquer la proposition qui vient d'être démontrée sur M' T. La différence des normales est donc au moins du second ordre. Nous pourrions pousser l'appréciation plus loin.
On peut tirer de là une conclusion qui a quelquefois de l'utilité dans les problèmes de géométrie : c'est qu'une courbe dont les normales passent toutes par un même point, est nécessairement un cercle. En effet, en parta-
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l5g
géant un arc iioi de la courbe en parties infiniment petites du premier ordre, les accroissements successifs des normales , comptées à partir du point constant de leur rencontre , seront du second ordre, et la limite du rapport de la somme de ces accroissements à la somme des arcs sera zéro. Donc l'accroissement total de la normale est Dul, et tous les points du lieu sont également distants du point fixe. Ce lieu est donc un cercle, dont le point fixe est le centre.
122. Considérons un arc infiniment petit a, appartenant à une courbe quelconque, dont les arcs pris à partir d'une origine fixe sont désignés par s ; partageons-le en parties ^ales a , infiniment petites du second ordre, si a est
regardé comme du premier*, ce qui veut dire que — tend
vers une limite, finie, lorsque a tend vers zéro. Désignons par ft> la courbure d'un quelconque de ces arcs a, on aura (tt« 114)
b) = Ma ,
M désignant une quantité finie.
Comparons maintenant les valeurs extrêmes o)', &)'' dew. Pour avoir &>' il faudra , dans M, mettre pour s la valeur correspondante à la première extrémité; pour avoir co'' il faudra changer s en 54- A, A n'étant autre chose que a — a, et par conséquent du premier ordre. M croîtra donc d'une quantité du premier ordre , que l'on pourra désigner par Mia, Mi restant fini; d'outil suit «" — w' = Mfaa.
Ainsi la différence des courbures des arcs extrêmes a est du troisième ordre.
123. Expression de la perpendiculaire abaissée d'une extrémité d'un arc infiniment petit sur la tangente menée à Vautre extrémité.
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Soit OB (fig. Sa) la tangente à rextrémité O de l'arc OA =/i infiniment petit du premier ordre, et AB la perpendiculaire , dont nous allons chercher l'expression en fonction de la longueur a de l'arc et de sa courbure £1 , en nous assujettissant à ne n^liger que les infiniment petits du troisième ordre. Pour cela nous décomposerons a en parties égales a infiniment petites du second ordre , dont le nombre m croîtra indéfiniment à mesure que a tendra vers zéro.
La relation
donne
— = ~ ? ou w = - ; ma a
de sorte que — est infiniment peut du premier ordre, et
fl^ . ^ /> .
am ou — est une quantité Imie.
Cela posé, soit MN un quelconque des arcs a qui composent OA, et correspondant à OM= mx-^ formons le triangle MNI au mojen de la corde MN, de la parallèle MI à OB et de la perpendiculaire NI 5 AB sera la somme des m valeurs que prendra NI quand n prendra les nt valeurs o, i, 2,..., (m — 1).
C'est-à-dire que l'on aura
AB = 2 MNsinNMI,
cette somme se rapportant aux m arcs égaux qui composent OA. Remarquons d'abord que, si dans l'expression générale de l'élément MN sin NMI, on considère un terme infiniment petit de l'ordre ;;, il fournira dans la somme un terme de l'ordre p — i . En effet, on peut le représenter par ViaP^ K étant une quantité finie variable. La somme des m valeurs qu'il prend est égale à la somme des facteurs aP multipliée par une moyenne Ri entre les premiers fac-
DES QUANTITÉS CONSIDKRECS COMME LIMITES. l6l
leurs A", c'est-à-dire à mKi a^. Ce qui est évidemment de Tordre p — i , puisque ma est une quantité finie. Procédons maintenant au calcul de la somme en question, en négligeant dans sa valeur totale les quantités infiniment petites du troisième ordre.
Nous voyons d'abord qu'à ce degré d'approximation nous pouvons substituer Tare a à sa corde MN, car leur différence est de l'ordre de a'-, c'est-à-dire du sixième, puisque a est du second : et comme l'angle NMI est moindre que l'angle a que la tangente en M fait avec OB, augmenté de la courbure w de MN, et à plus forte raison moindre que Î2 qui est du premier ordre, on voit cpi'en prenant a. au lieu de la corde MN, on néglige dans l'expression générale de NI une quantité du septième ordre, au moins. Or, d'après la remarque précédente, elle ne pourra donner dans la somme qu'une quantité du sixième ordre : on peut donc la négliger au degré d'approximation que nous nous sommes proposé, et prendre pour valeur de AB l'expression
îasinNMI.
On peut encore la simplifier en remplaçant si n NMI par l'angle NMI-, car leur différence étant du troisième ordre, son produit para sera du cinquième, ce qui ne produirait sur AB qu'une erreur du quatrième. Donc nous pouvons prendre pour NI l'expression plus simple
a. NMI.
El même nous pouvons remplacer NMI par (p dont il diffère d'un angle moindre que la courbure de MN qui est du second ordre ^ car nous négligeons ainsi dans a. NMI une quantité du quatrième ordre qui ne pourrait affecter AB que d'une erreur du troisième ordre, que nous devons I. II
l62 LIVRE I.
négliger. Ainsi, au degré d'approximation demandé, nous pouvons prendre
AB =r 2 ça.
Il faut maintenant exprimer (p au moyen de Tare OM= na^ afin de pouvoir effectuer cette sommation.
Cet angle f n'est autre chose que la somme des courbures w des n premiers arcs a 5 et si elles étaient toutes égales à la courbure cd' du premier, ^ serait égale à ntù' . Or il est facile de voir qu'on peut les considérer ainsi, au degré d'approximation demandé.
En effet, d'après le n° 122, une quelconque des différences c«) — w' est un infiniment petit du troisième ordre. Ainsi la différence àe(f knisJ est égale à n quantités du troisième ordre, et peut se mettre sous la forme Ana', A étant fini 5 or celte quantité est moindre que Arna^ qui est du second ordre , puisque ma est fini j donc Ana^ est au moins du second ordre. En prenant donc (f = ntà\ l'erreur est du second ordre, et (foc est en erreur d'une quantité du quatrième, qui ne produira sur la somme 2 ça qu'une erreur du troisième, que nous devons négliger. Nous pouvons donc nous borner à la valeur beaucoup plus simple
AB = Z «aw' = aw' 2 /^.
Mais n passant par toutes les valeurs de o à m — i , on a
Donc
AB = — ^ = (m — I ) w' . - .
DES QUANTITÉS CONSIOÉBKES GOMME LIMITES. l63
Mais on peut substituer mk m — i , vu qu'il n'en résulte pour A6 qu'une erreur du troisième ordre : et par les mêmes raisons que précédemment, ma/ ne difi%re de la somme des courbures o) des m arcstx que d'une quantité du second ordre. Substituant cette somme Ai /nca', il n'en résultera donc sur AB qu une erreur du troisième ordre; et au degré d'approximation demandé, on aura enfin
aSX AB= — .
Ce qui donne le théorème suivant :
La perpendiculaire abaissée d*une extrémité d'un arc mfinim en t petit du premier ordre y sur la tangente menée à Vautre eoctrémité, est égale à la moitié du produit de ïarc par sa courbure y à un infiniment petit près du troi^ sième ordre.
124. L'angle formé par la corde d'un arc infiniment petit du premier ordre^ av^ec la tangente au milieu de cet arc, est un infiniment petit du second ordre.
Soit A A' cet arc, O son milieu , et B'OB la tangente 5 la corde AA' fait avec BB' un angle dont le sinus est égal à la différence des perpendiculaires AB , A'B', divisée par la corde. Soient îî,îî' les courbures des deux moitiésOA, O A', on aura, d'après le numéro précédent, en désignant par 2a la longueur de l'arc AA',
et, par suite,
AB= , A'B'rr: ;
AB — A'B' = (a — a').-.
Or nous avons vu (n° 114) que la diflférence des courbures de deux arcs égaux consécutifs , infiniment petits
l64 LIVRE I.
du premier ordre, est du second ; donc il — SI' est du second ordre 5 et , par suite , la différence AB — A'B' est du troisième, son rapport à A A' est donc du second. Ainsi le sinus de l'angle de AB avec la tangente au milieu O de Tare sous-tendu est «du second ordre ; et par conséquent aussi cet angle lui-même est infiniment petit du second ordre , comme nous T avions annoncé.
125. Remarques diverses. — Les perpendiculaires AB, A'B' étant du second o^dre, celle qu'on abaisserait du milieu I de A A' serait aussi du second 5 il en serait de même évidemment de la perpendiculaire élevée de I sur AA' et terminée à BB', ou à la courbe : et encore de la perpendiculaire abaissée de O sur A A'.
Remarquons encore que dans le triangle rectangle OAB le côté OB et Tangle O étant du premier ordre, la différence de l'hypoténuse OA à OB sera du troisième ordre. Donc aussi la différence de rare OA à OB sera du troisième ordre,
— Si Ton avait en O [fig- 53) une seconde courbe tangente à la première et ayant môme courbure en ce point , et que Von prît un arc OAi =0A, la perpendiculaire
A,Bi serait, au troisième ordre près, égale à -^,12,
étant la courbure de Tare OAi dont le rapport à f2 a Pu-
nité pour limite par hypothèse. Donc la limite du rap-
A B port -j—^ est l'unité, et, par conséquent, la différence
(le Al Bi à AB est infiniment petite par rapport à AB, et , par conséquent, d'un ordre supérieur au second.
De plus, on voit que BF^j sera au moins du troisième ordre, puisque c'est la dilïéi^nce de OB et OB, qui di(fèrcnt des arcs égaux OA , OA, de quantités du troisième ordre. 11 en résulte que A A, est l'hypoténuse d'un triangle dont un côté est d'un ordre supérieur au second, et Taulre
DES QUANTITÉS GONSIDÉEKES COMME LIMITES. l65
au moins du troisième, et, par conséquent, AAi est d^ un ordre supérieur au second.
II est encore important de remarquer que la longueur d'une corde AS comprise entre deux courbes ayant même courbure en O , et dont la direction limite fait un angle fini avec la tangente commune en O, est d'un ordre supérieur au second. Car on a
smS et comme sin S reste fini , AS est au moins du même ordre que AA,.
Ainsi , par exemple, si Ton considère le cercle de courbure d^une courbe quelconque, qu'à partir du point de contact on prenne un arc infiniment petit du premier ordre, et que de son extrémité ou mène une sécante faisant un angle fini avec la tangente, la partie comprise entre les deux courbes sera d'un Ordre supérieur au second.
126. Si Ton mène une tangente parallèle à la corde AA', l'arc MT [fig* 53) compris entre son point de contact T et le milieu M de l'arc , ayant pour courbure l'angle de ses tangentes extrêmes, qui est le même que celui de la corde et de la tangente au milieu , sera infiniment petit du second ordre, comme ce dernier ^ d'où résulte cette proposition :
UoJ^c compris entre le milieu diin arc infiniment petit du premier ordre et le point de contact de la tangente parallèle à la corde de cet arc est infiniment petit du second ordre.
Si sur le milieu I de la corde AA' {/%. 54) on élève une perpendiculaire, elle rencontre l'arc en un point P, également distant de A et A'. Or chacune des cordes égales AP, A' P ne différant de l'arc quelle sous-tend
l66 LIVRE I.
que d'un infiniment petit du troisième ordre, les deux arcs AP, A'P ne peuvent avoir entre eux qu'une dîflerence du même ordre. Mais cette différence est le double de PM , puisque M est le milieu de l'arc entier : donc MP est infiniment petit du troisième ordre.
Ainsi :
MT est infiniment petit du second ordre 5
MP est du troisième ;
et, par suite^ TP est du second.
127. Si l'on joint le point I aux points M , T, et qu'oa mène les cordes PM , TP, la première sera du troisième ordre et la seconde du second, comme leurs arcs respectifs.
Or nous avons vu que IP est du second : donc V angle PIM est infiniment petit (n** HO). Mais dans le triangle TIP les côtés TP, PI étant du même ordre, le rapport des sinus des angles opposés a une limite fiuie, et, par conséquent, ces deux sinus ont des limites finies ou tendent tous deux vers zéro. Or ce dernier cas ne peut arriver : car il faudrait pour cela que le troisième angle en P tendit vers deux droits ou vers zéro, ce qui n'est pas, puisque la direction TP est infiniment voisine de celle de la tangente en M, et, par conséquent, de celle de ÀA', à laquelle IP est perpendiculaire 5 donc V angle TIP a une limite finie
Ainsi , en joignant le milieu de la corde au milieu de l'arc et au point oii la tangente est parallèle à la corde, on a deux directions, dont la première a une limite perpendiculaire à la corde ^ et la seconde, oblique.
128. Les angles formés parles tangentes attx extrémi-r tés d^un arc infiniment petit awec sa corde, p eussent être regardés comme égaux, et les tangentes comme égales, en négligeant les infiniment petits du second ordre.
Soient AA^ [fiS' ^^) ^^ ^^^ infiniment petit dii premier ordre 5 AV, A'V ses tangentes extrêmes, dont Tanglc
DÈS QUANTITÉS GONSIDKRÉBS GOMMB LIMITES. 187
extérieur V mesure la courbure de Tare ÂA'. La tangente menée au milieu M de cet arc fait avec AV, A' V des angles MTV, MT' V égaux, au second ordre près, comme mesurant les courbures des arcs ^aux AM , A'M (n** 118). Or ces deux angles di fièrent des angles respectifs A , A' de Tangle même des deux droites TT', A A', lequel est du second ordre. Donc, comme nous Tavions annoncé, les angles des tangentes extrêmes ai^ec la corde sont égaux à un infiniment petit près du second ordre ^ et donnent la mesure de la demi-courbure de Farc, à ce même degré d'approximation.
Cela posé, il est facile de prouver qu'il en est de même des côtés AV, A'V du triangle AVA'. En eflet, on a A^V sin A AV ""sinA'^
et comme la limite de -: — --, est la même que celle de —j
smA' ^ A'
qui est égale à Tunité, il en résulte
Il est facile d'ailleurs d'apprécier Tordre de la difleronce A'V — AV. En effet, l'équation précédente donne
(j^ j^'\ A 4- A' — ^jcos-^—
AV sin A' sin A' *
te qui est une quantité infiniment petite du premier ordre, puisque ( ) est du second et sin A' du premier. Le
rapport ~ étant du premier ordre , A'V — AV est
du second.
Donc les longueurs des tangentes extrêmes sont légales, nu second ordre près.
l68 LIVRE I.
129. Les angles inscrits dans un segment dont Para est infiniment petit du premier ordre, sont égaux, au se-cond ordre près.
Soient Tare A A' [fig- 56) et un angle inscrit quelconque AMA'. Si Ton mène la tangente TMT', l'angle UMA' sera partagé en deux angles , dont Tun mesure la demi-courbure de A' M et l'autre celle de AM. Donc V angle UMA' peut être regardé comme constant et égal à la demi' courbure de A A', au second ordre près.
L'angle inscrit AMA' est donc aussi constant, au se^ cond ordre près.
130. Si sur deux courbes tangentes on prend, à par-^ tir du point de contact, des arcs infiniment petits égaux, la droite qui joint leurs extrémités a pour direction limite celle de la normale commune.
Soient M [fig, Sy) le point de contact, MM'=MM, , et supposons d'abord que les deux courbes soient de côtéç différents de la tangente commune. Dans le triangle rectiligne MM'Mi, la différence des côtés MM', MMj, que nous considérerons comme infiniment petits du premier ordre, est du troisième ordre, puisque les arcs sont égaux ; de plus, l'angle compris M étant la somme de ceux que chaque corde fait avec la tangente, est aussi du premier ordre (n^ 128). Donc les limites des angles M', Mj sont des angles droits (ri*' 1 12), et comme les directions des côtés MM', MMi ont pour limite celle de la tangente en M, il en résulte que la limite de la direction de M'Mi est celle de la normale au point M.
Mais si les courbures étaient dans le même sens , les deux arcs MM', MMi seraient du même côté de la tangente, et l'angle M serait la différence des deux angles du premier ordre que les cordes font avec la tangente commune. Cet angle pourrait donc être d'un ordre supérieuir
D&S QUANTITÉS CONSIDÉ&EES COMME LIMITES. 169
au premier, et nous ne serions plus dans les conditions du n° H 2. Or nous avons démontré que ces angles ne diffèrent des moitiés des courbures des arcs , que de quantités du second ordre. Si donc les courbures des deux courbes en M sont diâférenies, ce qui est le cas général , les deux angles qui mesurent les courbures des arcs MM', MMi difierent d'une quantité du même ordre que ces arcs, puisque les limites des rapports de ces angles à la longueur de Tare sont inégales. Ainsi, en laissant de côté les points particuliers où la courbure est la même, l'angle M sera toujours du premier ordre, et, par suite, les angles M', Mi ont pour limites des angles droits. Donc généralement la limite de la direction M' M, est celle de la normale cornmiine.
Exemples de la détermination des centres de courbure,
131. Cycloïde. — Soit T (Jig» 58) le point de contact du cercle générateur correspondant au point quelconque M de la cycloïde. Nous savons qu'en prenant sur le cercle un arc infiniment petit MI, menant IM' parallèle à AB et égal à MI 5 puis prenant TT'=MI = IM', le point M' appartient à la cycloïde , et T' est le point de contact correspondant du cercle générateur avec la base.
Cela posé, MT, M' T' sont deux normales infiniment voisines, et la limite de leur point de rencontre N est, d'après ce qui précède , le centre de courbure de la cycloïde, correspondant au point M.
Or, si l'on joint IT et qu'on mène MK parallèle à AB , on aura HR== TT', et on reconnaît facilement que le rapport de MH à MI et, par suite, à TT' tend vers l'unité 5 car, dans le triangle rectiligne MIH , les deux angles I et H ont une même limite finie. En effet, la corde MI a pour direction liinite celle de la tangente MU au cercle, et la
direction IHT a pour limite celle de MT 5 donc Fangle I du triangle a pour limite TMU. L'angle H du même triangle, ou son égal THK, a évidemment pour limite TMK. Or cet angle est égal à TMU , puisque , d'après les propriétés connues du cercle, MT est la bissectrice de UMK ^ donc la limite du rapport des côtés MH , MI est Tunité. Il en est donc de même de la limite du rapport de MH à l'arc MI, ou à son égal TT'. Donc la limite du
MK A;r . 1 MK
rapport =— est 2. Mais Je rapport — -^ est constamment
égal à 7^' Donc la limite de MN est 2MT, et on aura le
MN
centre de courbure O en prenant TO = TM.
Ainsi dans la cycloïde le rayon de courbure est double de la normale,
132. Ellipse rapportée à ses foyers, — Soient F, F' {fig* 59) les deux foyers, a, i les deux demi-axes, cî, â' les rayons vecteurs d'un point quelconque M de l'ellipse, M' un second point infiniment voisin de M, MO', M'a les bissectrices des angles F MF, FM'F, qui seront les normales en M , M'. Le rayon de courbure en M
MM' sera la limite du rapport -7^? puisque l'angle O' des normales est égal à celui des tangentes aux extrémités de l'arc MM'.
Comme nous n'avons en vue qu'une limite de rapports , nous pourrons , d'après les remarques faites précédemment (n° 107) , remplacer les quantités infiniment petites par d'autres, dont le rapport avec elles aura l'unité pour limite, et écrire, comme si elles étaient exactes, les équations où elles entreront. Nous avons démontré
1 1 i 1..1. MM' ,
que le résultai cherche lim. -— - n en sera aucunement
altéré. Nous donnons ainsi un premier exemple de ce
moyen si commode de simplification. Rien ne sera plus facile , au reste , que de faire les mêmes calculs en conservant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, l'exactitude absolue des équations.
Les deux triangles F'MI, ClIVr ayant un angle égal, la somme des deux autres est la même de part et d'autre; d'où, en désignant par F' l'angle infiniment petit MF' M', par tt> l'angle donné F'Mw', et de même par F et tàf les angles MFM', FM'Cy,
O' — F' = « — w', et de même
O' — F =r «' — w ; d'où, en ajoutant,
Ainsi , en désignant par R le rayon de courbure cherché , on aura
