SS

acosoi

Or on sait que cosw = -7== 9 et que la longueur ri de la normale MK a pour expression

D'où résulte

ou, en désignant par /? le demi-paramètre,

Cette formule s* applique également à l'hyperbole et à la parabole.

133. Cette formule donne pour la valeur de R une construction facile ; mais on en obtient encore une plus simple en remarquant que la première valeur de R donne pour projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur F 'M, la valeur suivante :

R cos w =

Qr, en divisant les valeurs de //. et cosfo, on obtient a cos w

DÏS QUANTITÉS COUSIDÉ&KES COMME LIMITES. I73

et n'est autre chose que la loneueur MH obtenue en

cos« ^

élevant NH perpendiculaire sur la normale. Le point H est donc la projection derextrémité du rayon de courbure ou du centre de courbure. Elevant donc en H une perpendiculaire sur le rayon vecteur F' M, sa rencontre C avec la normale sera le centre de courbure.

134. Spirale logarithmique. — Soient M, M' {Jig» 60) deux points infiniment voisins, A le pôle, MO, M'O les deux normales en M , M'; il s'agit de trouver la limite du point O. Les rayons vecteurs AM,AM' étant, comme nous l'avons vu , également inclinés sur les normales correspondantes, les angles A et O sont égaux, et les quatre points A, M, M', O sont sur un niême cercle. Mais lorsque M' tend vers M, ce cercle tend à devenir ! langent à la spirale en M, puisque la sécante commune

MM' tend vers la tangente à la spirale; donc ce cercle à la limite a pour normale MO : son centre est donc sur MO 5 la limite C de O ou le centre de courbure est donc I l'extrémité du diamètre de ce cercle dont M est l'autre

I extrémité. L^angle MAC est donc djroit, et on a le centre

j de courbure en élevant en A une perpendiculaire au

, rayon vecteur, en cherchant sa rencontre avec la nor-

male.