DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

13S. Si , sur chacune des normales à une courbe plane quelconque, on considère le centre de courbure correspondant, qui est la limite de la rencontre de cette normale avec une normale infiniment voisine , on obtiendra pour lieu de ces centres une courbe tangente à toutes les normales (n^ 76). Cette courbe se nomme la déi^eloppée de la première, et celle-ci s'appelle la développante de l'autre. Les développées jouissent d'une propriété remarquable, à laquelle elles doivent leur nom, et que nous allons faire connaître.

Soient M (fig- 6i ) un point quelconque d'une courbe , MO sa normale, O le centre de courbure. M' un point de la courbe distant de M d'une quantité infiniment petite du premier ordre, O' le centre de courbure correspondant; les deux droites MO, M'O seront tangentes à la développée aux points O et O'. Or, comme la longueur MO du rayon de courbure dépend de la position de M, ou de la longueur de l'arc de la courbe donnée, compté à partir d'une origine quelconque sur la courbe , on peut regarder MO comme une fonction de l'arc ; ainsi, d'après un principe posé précédemment, l'accroissement infiniment petit de MO, ou la différence M'O' — MO sera généralement de même ordre que MM '5 et de même l'accroissement OO' de l'arc de la développée sera de l'ordre MM', puisque l'arc de la développée est aussi une fonction de celui de la proposée.

Maintenant il est facile de reconnaître que la longueur de l'arc 00', et la différence des deux rayons de courbure

DES QUANTITÉS COHSIDKRÉKS COMME LIMITES. in5

MO 5 M'O' ne peuvent différer que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles-mêmes.

En effet, élevons en M et O des perpendiculaires à MO, qui rencontrent la normale M'O' en T et H. La partie TM' est d'un ordre supérieur au premier, puisque MT est tangente et que la direction HT n'a pas pour limite celle de la tangente (n^ 120). De plus la longueur HT ayant MO pour projection sur la normale avec laquelle sa direction fait an angle infiniment petit du premier ordre, la différence entre OM et HT sera infiniment petite du second ordre. Donc la différence entre M' H et MO sera infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, puisqu'il en est ainsi de la partie TM', dont nous n'avons pas cherché à préciser exactement l'ordre.

n suit de là que la différence entre M'O' et MO sera HO', à une quantité près d'un ordre supérieur au pre* mier. Or l'arc 00' et la tangente O'H à la développée ont une différence du second ordre (n° 120) : donc enfin 00' et M'O' — MO ne peuvent avoir qu'une différence infiniment petite par rapport à elles-mêmes 5 et , par conséquent, si l'on considère la somme d'arcs infiniment petits 00' formant un arc fini déterminé de la développée, cet arc sera égal à la limite de la somme des accroissements successifs des rayons de courbure. Et , comme cette somme d'accroissements n'est auti:e chose que l'accroissement total, ou la différence des rayons de courbure extrêmes , on arrive à cette conclusion : Un arc fini de ht développée d'une courbe quelconque est égal à la difference des deux rayons de courbure de cette courbe^ correspondants aux deux extrémités de cet arc. Et cette proposition s' appliquant à toutes les grandeurs des arcs de la développée , s'applique évidemment aux arcs infiniment petits 5 d'où l'on voit que la différence entre OO' et ^l'O' — MO, que nous avions démontrée être d*UH ordre

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supérieur au premier, était rigoureusement égale à zéro.

136. Il suit de ce qui précède que, si ron suppose un fil flexible et inextensible appliqué sur la développée jusqu'à un certain point quelconque, à partir duquel il s'en sépare tangenliellement et se prolonge jusqu'au point où. il coupera la courbe proposée^ qu'ensuite on développe la partie enroulée, en tenant toujours le fil tendu, son extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Car l'accroissement de la partie rectiligne du 61 tangent sera toujours égal à l'arc de la développée compris entre deux points de contact^ ou à la difierence des rayons de courbure correspondants^ donc la partie rectiligne sera toujours la longueur même du rayon de courbure, et, par suite , l'extrémité sera toujours sur la courbe donnée. Le lieu des centres de courbure d'une courbe peut donc servir à décrire cette courbe par son développement en ligne droite, et c'est de là que lui vient le nom de rféyeloppée.

137. Dév^eloppée de la cycloïde. — Soient M un point quelconque de la cycloïde (/?g^. 62), MN la normale, NMD le cercle générateur, R le rayon de courbure, on a

R=:2MN; on aura donc le centre de courbure O, relatif au point M, en prenant IN O = MN. Mais si au milieu I de la base on élève la perpendiculaire IB égale au diamètre 2a du cercle générateur, et qu'on mène en B une parallèle BV à la base, le cercle décrit sur la perpendiculaire NC comme diamètre passera par O : l'îirc NO sera donc égal à l'arc MN du cercle NMD, et, par suite, à la ligne AN. Donc OC = NI = BC. Donc le point O appartient à la cycloïde décrite par un point d'un cercle ayant 2« pour rayon , le point B pour origine, et BV pour base.

La développée de la cycloïde AEA' se compose donc de deux dcmi-cycloïdes AB, A'B, identiques avec la

DRS QDAIfTITis COirSII>illK£S COMME LIMITES. M'J'j

première, et dont le prolongement se rapporterait aux brancbcs sui vanter dé celle-ci.

138. La différence de deux rayons de courbure étant ^ale à Tare de la développée y «ompris enlro les d^ux points de co*ntac^ et le rayon^de courbure de AEA' étant nul au point A , la ligne MO est égale à Tare AO. Donc dans toute cycloïde AOB^^ l'arc compris entre le sommet A et un point quel^^nque O est double de la corde KO du cercle générateur KOQ qui passe en ce point; proposition d^à démontrée précédemment par d'autres considérations.

Ainsi, ip revenant à la eyeloïde primitive, on aurait M£= 2MD, et^par conséquent,

AE=.4£i et AEA'z=8a.

Si l'on fait na — y = y\ c'est-à-^îre si Ton compte les y' à partir de E, dans le sens El, et que Toft pose EM = 5 , on aura

Telle est l'équation de la cycloïde entre l'ordonnée et l'arc , comptéa à partir de son sommet.

*139. Développée de la parabole. — Soient l'équation j* = ^px [fig* 63), M un point quelconque de la parabole, MN la normale, O le centre de courbure \ on aura, d'après une formule donnée précédemment,

Soient X ^ j les coordonnées de M 5 a , 6 celles de O ,

et (p langle de MQ^vec la parallèle MI a Taxe des y \ on

aura

MN = (^'^4-/'')^, r — € = ^10cos(p, a — x=:=MOsin(p,

tang ^ = - j ces ^ = . > sm (p ^— = •

On lire de là

/'^ = — /^' 6 , a =r 3 X xf- /? .

Enire ces deux 'équations et celle de la parabole y* ^^= 2/^Jt, si Ton élimine x gI jr^ on aura l'équation du lieu des points O ou la développée. On trouve ainsi

On peut remarquer que l'équation ^précédente a = 3j:H- p indique une construction fort simple du centre de courbure O. Car l'abscisse OP de ce point étant égale à 3a: H- p , on a NP = 2.r. 11 sufik donc de mener la normale indéfinie MN,*de prendre NP double de l'abscisse du point donné M et d'élever en P une perpendiculaire à l'axe. Sa renctmtre a^ec la normale donnera le centre de courbure.

1 40.* Déi^eloppée de la spirale logarithmique. — Nous avons trouvé que le centre de courbure C de cette courbe est le point de rencontre de la normale et de la perpendiculaire menée par le pôle au rayon \ecteur [Jig. 60). L^ rapport de AC à AM étant constant, puisque les angles du triangle AMC sont constants , il s'ensuit qtu; deux rayons vecteurs quelconques de la développée seront dans le même rapport que deux «ayons vecteuiïs quelconques de la spirale, faisant entre eux le même angle que les deux autres. Si donc on fait tourner la développée autour de A , jusqu'à ce qu'un de ses points soit sur la spirale, toutes les autres y seront de même et les deux courbes coïncideront. La déisidloppée de la 'spirale logarithmique n'est donc autre chose que cette, spirale même qui a tourné d'un certain angle autour du pôle.

DES QUANTITÉS CONSfDEB^ES COMME LIMITKS. I7C)