IX : AD :: r: R :: Ox : od

Donc

IX = Ij:,

d'où il résulte que le point X est constamment sur Tépicy clititie décrite par un point du cercle de rayon /'' roulant sur le cercle de rayon r, ce point partant de x. Le point de rebroussement de cette épicycloïde correspondra don^ au sommet m de la première, et le point de rebroussement C de la priimière au sommet c de la seconde.

On reconnaît facilement que les deux nouveaux cercles 7', r' forment «n système semblable à celui des cercles R,R', et qu'ainsi les deux épicycloïdes sont semblables. Ainsi, la développée d'une épicycloïde est une

épicycloïde semblable, et le rapport de rfmilîtude est —

l88 l-l\EE l ' "

De la double génération des épicycloïdes planes,

146. Toute épicycloïde peut être engendrée par deux cercles de rayons diilérents, roulant sur un même. cercle.

1**. Supposons le cercle roulant intérieur au cercle fixe O (fig> 67). Soient AB son rayon, B le point de contact dans une position quelconque, M le point décrivant dont la position primitive était I •, on aura BM = BI. Par le point M, faisons passer up cercle de rayon OA langent au cercle O. Il suffira pour cela de mener le rayon OB' parallèle à AM et de prendre O A' = Alt = A M. Il en' résultera

A'B'i=OA = AM.

Le cercle décrit du centre A' avec un rayon égal à OA passera donc par M et sera tangent en B' au cercle O.

Cela posé, il est facile de voir que les arcs B'M, B'I sont égaux.

En eilet, puisque la figure OAMA' est un parallélogramme, les angles B'A'M, MAB, BOB' sont égaux. Donc

B'M BM BB^ àTi"~ AB ""Ob'

Ajoutant les termes des deux premiers rapports égaux*, on aura encore un rapport égal -

B'MH-BM *

d'où résulte et, par suite,

OB ' BB'=:B'M-f^BM, B'M = B'I.

Doiac le point M appartient à 1-épîcycloïde décrite par le cerclé A' roulant intérieurcmenî sur le cercle O en sens coatraire du cercle A.

DES QUANTITES CONSIDFREFS COMMK LIMTTF^. IO9

Si donc M est un point lié invariablement aux deux ren les,le cercle A' tournant dans O sans glisser fera rcni- 1er le cercle A de manière que les arcs IB, IB', égaux respectivement à MB, MB', soient entre eux comme les rayons AB, OA 5 et, par conséquent, les vitesses angulaires des centres A, A' autour de O seront proportionnelles aux rayons de ces cercles.

2°. Supposons maintenant que le cercle roulant A [fiS' ^^) ^^'^ extérieur au cercle fixe O.

Soit M le point du cercle A qui décrit répicycloïde , . I sa position primitive sur le cercle O, B le point de contact des cercles A , O 5 les arcs MB, IB seront égaux.

Menons par O un rayon OB' parallèle à AM \ prenons OA' = AM, et décrivons un cercle de A' comme centre avec un rayon égal à A'^B', c'est-à-dire égal à la somme des rayons des deux cercles donnés. Ce cercle sera tangent en B' au cercle O; de plus, il passera par M, puisque la figure MA OA' est un parallélogramme el que, par conséquent, A'M = OA = A'B'.

Cela posé, les angles égaux A, A! y O, ayant des mesures égales, on aura

AB~"OB ~"a'B''

et comme le dénominateur du dernier rapport est la somme de ceux des deux premiers, il s'ensuivra

MB' = MB -f- BB' = IB -f- BB'.

Donc le point M appartient à répicycloïde décrite par un point du cercle A' qui roulerait sur le cercle O, du même côté que le cercle A.

On reconnaît facilement que les vitesses angulaires des centres A , A' sont encore proportionnelles aux rayons.

Réciproquement, si A' élait le cercle roulant sur le cer-

igO I.IVBE I.

clefixe O renfermé Jans son intérieur, l'épicvcloïde engendrée par un point de ce cercle, pourrait être engendrée par un point du cercle extérieur A, ayant un rajoii ^al à la différence des deux autres et roulant sur O du même côté que le cercle A'.

On peut tirer de là la conséquence générale que toute épicycloïde peut être engendrée par le i-oulement de deux cercles de rayons différents sur un même cercle. Les rayons de ces deux cercles ont une somme ou une différence égale au rayon du cercle fixe, et le point de contact de ces cercles générateurs avec le cercle fixe se déplace en sens contraire si ces deux cercles sont intérieurs l'un à l'autre, et dans le même sens dans le cas contraire.

Comment lout.dcplacement continu se ramène au roulement (Tune courbe sur une autre,

147. Euler a démontré qu'une figure tracée sur la surface d'une sphère pouvait être amenée d'une position quelconque à une autre, sur cette même surface, par un seul mouvement de rotation autour d'un point de la sphère comme pôle.

Cette proposition , indépendante de la grandeur du rayon, s'applique évidemment au plan, et d'ailleurs les mêmes raisonnements peuvent être faits directement dans ce cas particulier. On peut l'établir très-simplement de la manière suivante :

Soient A, Al (fig- 69) les deux positions successives d'*un même point du système mobile; on amènerait A en Al en donnant à l'ensemble un mouvement de translation par lequel chaque point décrirait une droite égale et parallèle à AAi. 11 suffira donc, après cela, de laisser le point A fixe en Ai et de faire tourner le système autour de ce point jusqu'à ce qu'un second point arrive à la position qu'il doit occuper. Or ces deux mouvements

successifs peuvent être exécutés au moyen d'une simple rotation autour d'un point fixe. En effet, menons VA|U perpendiculaire à AAi, et par Ai, deux droites faisant' avec VU des angles égaux à la moitié de T angle dont le système a dû tourner ; inscrivons entre ces deux droites les lignes MM', NN' égales et parallèles à AAf. Il est facile de voir qu'après les deux mouvements de translation et de rotation, l'un des deux points M ouN, considéré comme lié au système, est revenu à sa première position. Car si la rotation porte de la direction A, N vers Ai K', et, par conséquent, Ai M' vers A,N, il est évident que le point M, parvenu en M' après la translation, reviendra en M après une rotation représentée par l'angle M' A, M. Et si la rotation était en sens inverse, le point N, amené par la translation en N', sera ramené en N par la rotation.

Il existe donc un point du système qui se trouve à la même place quand le système passe d'une position à Vautre, et par conséquent ce passage peut être effectué, en faisant tourner le système autour de ce point. Il est facile de reconnaître que T angle de cette rotation unique est le même que celui de la première. En effet, supposons que M sôit le centre de la rotation finale ^ le point A venant en Al, l'angle de rotation sera précisément AMAi , qui est égal à MAiM', puisque AAi étant égal et parallèle à MM', il en résulte que AM est parallèle à Ai M'.

148. Revenons maintenant au mouvement continu d une figure sur un plan.

Considérons un nombre indéfiniment croissant de positions infiniment voisines du système entre deux quelconques de ses positions ^ on pourrait l'amener de chacune d'elles à la suivante par une simple rotation autour d'un point fixe. Les centres successifs sont distants les uns des autres de quantités d'autant plus petites que les

19^ LIVRK I.

positions sont plus voisines, et en les joignant par des droites on forme un polygone déterminé* Oij peut maki- ^enant cqpsidérer les points liés au système mobile, qui viennent successivement coïncider avec les sommets de ce polygone 5 ils formeront un autre polygone déterminé, mobile avec le système , et ayant ses côtés successifs respectivement égaux à ceux du polygone fixe sur lesquels ils viendront successivement s'appliquer* On peut donc faire passer le système par toutes les positions intermédiaires que l'on a choisies^ en faisant rouler un polygone lié avec lui sur un autre polygone fixe* Concevons maintenant que ces positions se multiplient indéfiniment, on se rapproche de plus en plus du mouvement continu en question; ces deux polygones tendent vers des courbes déterminées, et par conséquent le mouvement donné, quel qu'il soit, peut être opéré en liant une certaine courbe au système mobile , en en construisant une autre qui reste fixe, et faisant rouler la première sur la seconde sans glisser, puisque les parties de polygone qui s'enroulent Tune sur Tautre soirt constamment égales. Telle est la manière la plus simple de se représenter le mouvement continu d'un système sur un plan \ elle rentre dans le mouvement de roulette que les géomètres avaient d'abord considérée.

149. Les centres des rotations très-petites, ou les différents sommets du polygone fixe, tendent vers des points limites qui sont ceux de la courbe fixe, et que Ton nomme centres instantanés de rotation^ et l'on dit, en employant le langage infinitésimal^ que tout mouvement peut être considéré comme composé d'une infinité de mouvements de rotation autour de ces centres instantanés. Mais il faut toujours entendre par ce langage, que nous avons tant de fois expliqué, que ce mouvement est

la limite d'une suite de mouvements de rotation dont le nombre cix)ît indéfiniment, et qui s'exécutent successivement autour de points qui se rapprochent indéfiniment des centres instantanés .

Moyen de mener ta tangente à la trajectoire d*iin point quelconque du système, quand on connaît les tangentes aux trajectoires de deux points ,

ISO. M. Chasles a déduit de ces considérations un moyen de mener la tangente à la trajectoire d'un quelconque des points du système, c'est-à-dire à la courbe qu'il décrit , quand on sait mener les tangentes aux trajectoires de deux de ses points. Il Fa même étendue à d'autres cas , comme nous le verrons tout à l'heure. En effet, nous avons yuque, pour avoir la normale en un point quelconque dnne de*ces courbes, il suffisait de joindre ce point au point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe, c'est-à-dire au centre instantané de mtation. Si donc on peut mener les tangentes aux trajectoires de deux points du système, aux points correspondants à une position quelconque de ce système, la rencontre des normales en ces points fera connaître le centre instantané; et en le joignant à un point quelconque du système dans cette même position, on aura la normale à la trajectoire de ce point : la tangente s'ensuit.

Exemple. — Supposons qu'une droite de longueur constante se meuve de manière que ses extrémités restent* sur deux droites données -, un quelconque de ses points décrira une ellipse dont la normale s'obtiendra en joignant ce point au point de rencontre des perpendiculaires aux deux droites menées par les extrémités de la droite mobile dans laposition correspondante au point quel'on considère. I. i3

t<)4 UVBE 1

Sî^ au lieu des deux droites 6xes, on avait deux courbe» auxquelles on saurait mener les tangentes, il n'y aurait pas plus de difficulté. Dans le cas où ces courbes sont des cercles, la courbe décrite par un point de la droite inscrite est d'un grand usage dans les applications aux machines.

1 51 . Extension de cette règle au cas ou une droite du système est tangente à une courbe Jixe^ ou passe par un point fixe.

Cette règle peut être étendue au cas où une droite du système se mouvrait tangentiellement à une courbe fixe donnée; cette condition peut remplacer la connaissance de la trajectoire d'un point.

Il est inutile de parler du cas où la droite roulerait sans glisser »ur la courbe , parce que le centre instantané ne serait autre chose que som point de contact avec cette courbe 5 il serait donc connu et le problème serait résolu. Il suffit donc de considérer le cas où les longueurs qui s'enroulent l'une sur l'autre sont inégales, et où, par conséquent , leurs parties infiniment petites correspondantes n'ont pas pour limite de leur rapport l'unité; de sorte que ces parties étant du premier ordre, leur différence en est aussi. Soient UV, U'V (fig. 70) deux positions infiniment voisines de la droile du système qui reste tangente à la courbe fixe SS'; M, M' les points de contact correspondants à ces deux positions. Lorsque UV se déplace , celui de ses points qui était en M décrit une trajectoire tangente en M à la courbe SS'. En effet, soit Ml sa position sur U'V; la différence entre M'Mj et l'arc MM' est par hypothèse du même ordre que MM' ; mais, puisque l'angle des tangentes, ainsi que M' M, sont des infiniment petits du même ordre que MM' ou du premier ordre, la distance MMi est aussi du premier

DES QUANTITES CONSIOÉRÉKS COMME LIMITES. igS

et la perpendiculaire abaissée de M, sur MV est du second-, donc l'angle MiMV a pour limite zéro; c'est-à-dire que la tangente en M à la courbe que décrit ce point lié à la droite UV, coïncide avec UV.

Il suit de là que dans une quelconque des positions de UV, son point de contact M peut être considéré comme se mouvant sur une courbe fixe tangente en M à UV. Donc on aura le centre instantané de rotation , en élevant en M une perpendiculaire à UV et cherchant son point de rencontre avec la normale à la trajectoire connue d'un autre point du système.

Mais sîj au lieu de cette trajectoire d'un autre point, ou connaissait une seconde courbe à laquelle une seconde droite du système serait tangente, on se retrouverait dans le même cas que tout à l'heure -, et en élevant une perpendiculaire à celte seconde droite en son point de contact, on aurait une nouvelle droite renfermant le centre instantané de rotation qui se trouverait ainsi déterminé. D'où résulteraient, comme nous l'avons vu , les tangentes aux trajectoires des autres points.

152. Si la courbe à laquelle la droite du système est tangente se réduisait à un point, c'est-à-dire si elle était assujettfe à passer par un point fixe, il suit de ce qui précède qu'en élevant en ce point une perpendiculaire à la droite, on aurait une ligne passant par le centre instantané. D'ailleurs la démonstration directe en est encore plus facile.

Car soient A [fig^ 71) le point fixe, UV, U'V'deux positions infiniment voisines de la droite^ M' la position où est venu le point M de UV, MM' sera une sécante du lieu décrit par ce point ; à mesure que U' V s'approcherait de reprendre la position UV, le point M' tendrait vers M et la sécante MM' vers UV^ cette dernière direc-

196 LlVBE«t.

tion est donc celle de la tangente au lien décrit par Te point M de UV. Donc on aura encore une ligne contenant le centre instantané de rotation , en menant par M une perpendiculaire à UV.

Applications de ces différents procédés.

153. 1^. Conchoïde, — La droite AN (fig- 36) passant par le point fixe A , et son point M décrivant la droite XY , on aura la normale à la courbe décrite par un de ses points N, en élevant en A une perpendiculaire à AN^ et en M une perpendiculaire à XY, puis joignant N à leur point de concours O.

On reconnaîtrait facilement que celte solution plus simple rentre dans celle que nous avions trouvée par une autre voie.

2°. Cyssoïde. — Nous considérerons le mode suivant de génération de cette courbe.

On donne deuxdroites rectangulaires AC,CZ (fig* 72) 5 on prend deux longueurs égales CB , BA , et on fait mouvoir un angle droit A VU , de manière que VU = AC , que le point U se meuve sur CZ, et que le côté VA passe toujours par le point fixe A : le milieu M de UV décrira une cyssoïde commençant en B et ayant pour asymptote la parallèle à CZ à une dislance CB' = CB.

Cela posé, pour mener la tangente en M, il suffira d'élever en U une pei^endiculaire à la droite CZ, sur laquelle se meut le point U de la figure mobile, et en A une perpendiculaire à AV 5 le point de rencontre de ces droites sera le centre instantané, et, en le joignant à M, on aura la normale à la cyssoïde.

3*^. Angle droit dont les côtés sont tangents à une ellipse. — Il suffira de mener des perpendiculaires aux côtés de l'angle, en chacun des points de contact, et de joindre

DES QUANTITES CONSmÊR'Êl.S COMME LIMITES. I97

kcui point de rencontre au sommet de l'angle mobile; ou aura ainsi la normale au lieu décrit par ce sommet. Cette normale sera la seconde diagonale d'un rectangle dont l'autre sera la corde de contact; elle passera donc par le milieu de cette corde et, par suite , par le centre. On voit donc que toutes les normales au lieu en question passent par le centre de Fellipse; donc ce lieu est un cercle concentrique à Fellipse. On aura son rayon en prenant les cotés de l'angle parallèles aux axes ; on trouvera ainsi V^a' 4- A', en désignant les demi-axes paf a, b.

Les mêmes raisonnements s'appliquent immédiatement à rhyperbole; mais le problème n'est pas toujours possible. Dans le cas de la parabole , toutes les normales au lieu -seront parallèles à Taxe; par conséquent, ce lieu sera une droite perpendiculaire Taxe : et Ton reconnaît facilement que c'est la directrice.