DES COURBES ENVELOPPES
154. Considérons une courbe dont réquation renferme une constante, 4)u paramètre, à laquelle on donne une série de valeurs, variant d'une manière continue. Pour chacune de ces valeurs, on aura une courbe déterminée. .Ces courbes changeront de forme et de position; et, si leurs points laissaient une trace sur le plan , il arriverait généralement qu'il y aurait une partie du plan sur laquelle cette trace serait imprimée et une autre partie où il n'en existerait pas. La séparation de ces deux parties sera une ligne avec laquelle les courbes variables auront un point commun , mais qu'elles ne pourront couper, puisqu' alors elles pénétreraient dans la région où cependant elles n'ont aucun point , par l'hypothèse même. Cette ligne de séparation est donc tangente à toutes ces courbes , et on la nomme leur enveloppe.
Nous avons déjà traité un cas particulier de celte question générale , celui où la ligne mobile est droite ; et nous avons démontré que si, pour chacune des positions de cette droite, on cherchait la limite de sa rencontre avec la droite infiniment voisine, on obtenait un point d'une courbe à laquelle ces droites sont constamment tangentes.
Il s'agit maintenant de généraliser ces considérations. Pour cela , considérons une quelconque des courbes en question et deux autres infiniment voisines. Tune précédant , l'autre suivant la première ; et supposons que celle-ci soit coupée par chacune des deux autres, ce qui
peut irès-bîeii ne pas arriver. Juigfious ces deux points de rencontre infiniment voisins par une droite : ce sera une sécante à la courbe, d'autant plus voisine de la tangente que les courbes seront plus rapprochées.
En agissant de la même manière pour toutes les courbes infiniment voisines, dans toute l'étendue des valeurs du paramètre pour lesquelles les courbes infiniment voisines se coupent, on construira un polygone à côtés infiniment petits et auquel les courbes variables tendront de plus en plus à être tangentes, à mesure que Ton considérera un plus grand nombre de courbes intermédiaires. De sorte que la limite vers laquelle tend le lieu de ces points de rencontre est une courbe tangente à toutes les proposées 5 et, sur chacune de celles-ci, on aura le point appartenant à l'enveloppe, en cherchant la limite de syoïi point de rencontre avec une autre qui s'en rapproche indéfiniment. Le problème est donc ramené à la recherche de la limite d'un point, après quoi il rentrera dans les questions ordinaires de lieux géométriques. Le calcul de cette limite peut être indiqué d'une manière générale.
Soit
Téquation d'un^ quelconque des courbes , ^t désignant le paramètre variable. Une courbe infiniment voisine cori^pondra à un accroissement infiniment petit A de a, et aura pour équation
Les valeurs de x et y^ tirées de ces doux équations, tendront vers les coordonnées du point limite à mesure que Ton y fera tendre h vers zéro. C'est ce que l'ofi pourra effectuer dans chaque cas particulier^ mais il est I)ossible de ramener ce calcul à une considération générale.
âOO LIVBE 1.
Remarquons d'abord que, puisque nous désignons par le même signe F les fondions qui expriment les deux membres de ces équations, nous supposons que ces fonctions ont une forme unique, que, par exemple, il ne s'y trouve pas de radicaux affectés de double signe; car il faudrait alors s'assurer si, pour le point de rencontre, les signes doivent être pris de la même manière , sans quoi la fonction ne serait pas la même dans les deux équations. Pour éviter ces difficultés, nous admettrons que la forme de l'équation donnée a été modifiée, s'il l'a fallu, de manière à devenir unique.
Retranchant les équations (i ), (a), on aura une équation qu'on pourra substituer à (^) sans changer les solutions communes; on peut encore diviser par A, et les coordonnées du point de rencontre des deux courbes infiniment voisines seront données par l'équation ( i ) et la suivante :
,ov F (jr,7, a 4- // ) ^ F (x,r, tf ) ^
On aura donc les coordonnées du point limite eu cherchant les solutions communes à Téquation ( i ) et à celle dontle premier membre serait la limite vers laquelle tend celui de l'équation { 3) lorsque h tend vers zéro, c'est-à-dire la dérivée de F (a:, y^ a) par rapport à a.
Ainsi , pour chaque position de U courbe mobile, le point de la courbe enveloppe sera déterminé par les équations
^t si Ton veut le lieu de ces points, il suffit d'éliminer m entre ces deux équations.
Remarquons que si dans une de ces positions la courbe n'est pas coupée par les voisines, cela annoncera qu'elle n'aura aucun point commun avec l'enveloppe. Dans ce
DKS QUARTlTés CONSIDÉBÉES C0M>IE LIMITES. 20 1
cas, cette dernière courbe ne sera tangente qu'aux courbes correspondantes aux valeurs de a comprises entre certaines limites, comme nous en citerons des exemples.
155. Applications, — i*^. Soient deux droites parallèles BU, B1J' [fig* 73) coupées par une troisième BB', et une droite MM' qui se meut de manière que l'on ait toujours
BlVI.B'M' = iw';
trouver l'enveloppe de ces droites. Prenons pour origine le milieu A de BB', pour axes la droite ABX et une parallèle à BM, et faisons BB' = 2 a.
En prenant pour équation de M' M
on devra avoir, entre a , 6 , la condition d'où
et 1 équation de la droite sera
Pour faire disparaître la double forme, on l'écrira I ainsi :
ou
I Egalant à zéro la dérivée par rapport à a , il vient
en éliminant a entre cette équation et la précédente, on aura pour équation de l'enveloppe
202 LlVaB I.
On peut remarquer (pie si réquaiion de la droite avait été résolue par rapport à a , ce qui aurait donné un double signe, le calcul devenait illusoire, et Ton se trouvait dans le cas dont il a été parlé en général.
2®. Supposons maintenant un cercle variable ayant pour équation
(0 X* -h {jc — ay=may
a étant le paramètre. variable.
Faisant passerions les termes dans le premier membre, et prenant la dérivée par rapport à a : ou encore prenant les dérivées des deux membres par rapport à a , on trouve
(2) — 2.Z ^ :ia — w = o.
Eliminant a entre (i) et (2), on a pour équation de IVii-
veloppe
jr^ = mx -h -j- 5
parabole qui a pour axe la droite sur laquelle se meut le centre du cercle. Son sommet C (fig- 74) est à une dislance AC =. yy et les points B, IV, où elle coupe Taxe
des j", ont pour ordonnées dz — •
Celte question offre un exemple du cas où toutes les courbes mobiles ne sont pas touchées par l'enveloppe. En effet, les équations (i), (2) donnent pour coordonnées du point limite de T intersection de deux cercles
Ainsi, pour toutes les valeurs de a moindres que y^ les
DES QUANTITES CONSlDé&éES COMME LIMITES. 2o3
cercles successifs ne se cou[)ent pas; ils sont itiléricurs
l'un à l'autre. Pour « = -7- , on a
ce qui donne le point C. Les valeurs plus grandes de a , jusqu'à l'infini, donneront tous les points de la parabole.
Caustiques.
156. Lorsque des rayons de lumière ou de chaleur, émanés d'un même point dans toutes les directions situées dans un même plan, sont réfléchis à leur point de rencontre avec une courbe située dans ce plan , de manière que les angles des rayons incidents et réfléchis avec la normale à cette courbe soient égaux, l'enveloppe des rayons réfléchis se nomme caustique par réflexion , relativement à cette courbe et au foyer de chaleur ou de lu^ mière.
Si les rayons étaient réfractés au point où ils rencoii-; trent la courbe , l'enveloppe se nommerait caustique par réfraction. Ces courbes ont dans la physique une utilité dont nous ne parlerons pas ici. Pour les obtenir, on cherchera, sur un rayon réfléchi ou réfracté quelconque, la limite de son point de rencontre avec un rayon infiniment voisin, puis le lieu des points ainsi trouvés. Ce point limite peut être trouvé par le calcul, en cherchant l'équation générale des rayons réfléchis ou réfractés 5 on peut aussi le trouver souvent plus simplement par des considérations géométriques : nous allons en donner quelques exemples, en nous bornant aux caustiques par réflexion.
Considérons d'abord généralement la question pour une courbe quelconque.
Supposons qu^un rayon de lumière parte d'un point donné A (fig- 75 ) et se réfléchisse en B sur une courbe donnée , en faisant avec la normale BV un angle VBX = ABV .
Considérons un autre rayon infiniment voisin , partant de A et se réfléchissant en M sur la courbe. Ce rayon réfléchi rencontre le premier en X.
Cela posé , on demande la limite du point X , lorsque M se rapproche indéfiniment de B.
On suppose connue, d'après la nature de la courbe, la limite m du rapport de Tangle O des deux normales à Tangle A correspondant.
Les deux triangles MHX, BHO, ayant un angle égal H, donneront, en désignant par a, o! les deux angles d^incidence successifs,
X — 0= OBH — HMX = a — a' ;
les deux triangles BAK, MOK donnent de même
O — A = a — a', d'où
X — 0=0~A ou X-hA = 20.
On aura maintenant les deux proportions suivantes :
MX : MI :: sini : sinX, BA : BI :: sini : sinA,
d'où
MX . MI . sinX
BA ' BI " * sinA*
Or on reconnaît facilement que la limite du rapport
Ml
jTj^ est Tunité, parce que, dans le triangle BIM, les deux.
angles B et M ont une même limite finie. Donc
,. MX ,. sinA ,. A ,. ^ '
hin. — -- = liin. -7—77 = hm. — = hm.
BA sinX X 2O — A 2//î— i
DES QUANTITÉS CONSIDEREES COMMK LIMITES. 2o5
Donc enfîn, en observant que MX et BX ont même limite, on aura
lim.BX= — ^--.
La limite m peut s'exprimer au moyen du rayon de courbure R et de Tangle d'incidence a. En effet ,
O = lina. -— - > R
et Ton peut prendre
BH, __ BMcosa ^~ÂB~ AB '
donc
,. O AB ,. ^^ AB.Rcosa
lim. -• = w = et lim. BX =
T -^ "• — " -ï^ *-^ 11111. u/v ■— T-zr zr «
A Rcosa 2AB — Rcosa'
si AB = 00 ,
hm. BX =
^applications,
1S7. 1°. Cercle. — Un faisceau de rayons parallèles situés dans le plan d'un cercle O (fig* 76) est réfléchi par la circonférence de ce cercle ; on demande la limite du point X où le rayon PM , après s'être réfléchi suivant MV, est rencontré par les rayons réfléchis infiniment voisins NX.
Cette question rentre dans la précédente, en supposant
On aura donc d'abord
2o6 LIVRE 1.
le triangle MNX donnera ensuite
NX MN
sin NMX sin X
Passant à la limite, et observant que NX a même limite que MO, et que Tangle NMX a pour limite le compté^ ment de a , le premier membre deviendra
lim.MX cosœ
Quant au second membre, on pourra , sans changer sa limite , remplacer la corde MN par l'arc qui est le produit du rayon du cercle par l'angle O; remplaçant ensuite X par 2O, et substituant Fangle infiniment petit à son
sinus, on trouvera — pour limite du second membre.
On conclut de là
,. *,^ MOcf.sa MP lin]. MX = = — •
Cherchons maintenant le lieu des points X, ou la caustique.
Soient ce '[fig* 77) le diamètre parallèle aux rayons , et H'PH un rayon incident quelconque ; on aura le rayon réfléchi en faisant Fangle OHH, = OHH'.
On a vu précédemment que le point M de la caustique s'obtenait en prenant
