Applications. — i°. Soîl F (x) = «', on aura

¥'(x) = a'\a,. ., F«(j:)=«'l»fl, F(o) = i, F'(o)=rU. ., F«(o)=l-fl,

et, par suite,

jc' l' a J7"~' 1"""' a or" 1" û ^

a»r= i-h xl fl H h... H 1 rt^^,

Le reste a tendant vers zéro, à mesure que w

augmente, la série indéfinie a pour somme «•^.

2^. Soient

F (x) = 1 (i -f- or) , F' W = (i + ^)-,

F» = — (1-4- ^)-% F''(a:) =zt: i .2. . . (« — i)(i -h .r)-%

d'où résulle

F(o) = o, F'(o)=i, F"(o)=~i,..., F''(o)=±:i.2...(/i-i), et, par conséquent ,

La série serait composée de termes indéfi ni ment croissants si Ton supposait x^i, parce que la limite du rapport d'un terme au précédent est x, lorsque leurs exposants augmentent indéfiniment (^voir à la fin la Note sur les séries). Il sufiit donc de s'assurer si le reste tend vers zéro quand on a x < i ; et pour cela il faut distinguer deux

cas. Si X est positif, on a — <^ i si x <^ 1 5 et par

conséquent le reste tend vers zéro, et la série converge vers 1 (1 + .r).

Si X est négatif et qu'on le représente par — .c, le reste

ne se présente pas sous une forme propre à

i— Ôz)"

faire reconnaître s'il tend vers zéro, parce que l'on n'aperçoit pas lequel est le plus grand des deux termes de la

fraction r-« Mais si l'on prend la seconde forme que

nous avons indiquée pour le reste , on trouvera pour le

cas actuel — ^^ ^> ? ou, abstraction faite du signe,

Or la fraction -^ est moindre que l'unité si z <r i ;

I — Qz ^ ^- '

donc le reste tend vers zéro, et la série représente 1 ( i -hx) . Cette série peut donc être employée pour toutes les valeurs de X comprises entre ■+• i et — i .

On peut obtenir des séries plus convergentes que la précédente et plus applicables au calcul des logarithmes.

Si dans la formule

l(i-f-jr) = x— .— H-. ^,...,

on change x en — x^ on obtient

et, en retranchant la seconde de la première.

Posant

=r I H — j d'où X=z