filtre forme pour le reste, — Il est quelquefois

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. Si^

uiile de donner au reste de la série de Taylor une autre forme que nous allons faire connaître.

Considérons d'abord le développement de F (x) ; nous pouvons poser, en remplaçant x par z -H (x — z) ,

Si Ton représente le dernier ternie pary^(z), et qu'on différenlic les deux membres de l'équation par rapport à 2, on obtient, toute réduction faite,

Celte équation détermine la dérivée/' (z) de la fonction

/(z), ou L:^i^F«[s-he(j:-z)],

et donne

f{z) = ^^ y- :F-fs)

Or on peut exprimer/ (2) au moyen de/' (s) par la for-., roule

et l'on peut- observer que/(a:) = o, puiscju'en faisant « = a:dans la fonction représentée par/(z), on trouve identiquement zéro. La dernière équation donne donc

^(') = 7:"ifT(7^) («■)"-' F°[-^ -h 6, (, - X)],

et l'on a ainsi une nouvelle expression du reste de la série qui donne le développement de F (x).

Si l'on suppose z = o, on a le développement de iMa-

claurin, sous la forme suivante, eu faisant i — Qyz=Q \ l F(a:)=F(o)-+-xK'(o) -h-^F''(o) + ...

l I.2...(« — ij ^^ I.2...(/î — 0

0 étant compris entre o et* i .

Dans le développement semblable «donné précédemment 5 le reste est exprimé par

0 désignant une fraction différente. La nouvelle forme donnée à ce reste est quelquefois plus propre à manifester la convergence de la série vers F [x).

Si dans la formule (6) on suppose F [x] =f{fi' -H ^), on aura

/(A + x) =f{h) H- xf (h) + — /"(A) +. .

ou, en changeant les lettres h et x Tune dans l'autre,

f{x^h) =/(.r) + 'if [x) + ^Z' (x) + . . . • /j/j— 1 /z"fi 9'"—'

c'est la série de Taylor, le reste étant présenté sous une nouvelle forme.

Appliquons les formules précédenies à quelques exemples .

CALCUL DES DERIVEES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3o 1