î \^/j;« dy** Jx^Oht, y-^Bkt
X ex y étant remplacés par x -^ Qht ex. y + 6ht dans le coefficient de 2". Faisant maintenant f= j, on aura le développement cherché :
3oB
LIVKE II.
nc5
et-»
SI
as
Cia
CALCUL DES DÉEIVÉXS ET DES DIFFiRENTl ELLES , ETC. 3<K)
pourvu que toutes les dérivées partielles , jusqu'à l'ordre n iDcIusivement , soient continues entre x -h /i et j- -f- A.
On aurait une formule analogue si au lieu de F (x, y) ou avait une fonction d'un nombre quelconque de variables.
Pour que cette série, poussée indéfiniment, représente F (x -+- A , ^ -h A^), il faut que l'ensemble des termes qui expriment le reste tende vers zéro \ et l'on pourra s'en assurer en prenant la valeur de 6 qui rendrait ce reste le plus grand possible , et cherchant si cette valeur maximum tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Quand il arrivera que chaque terme du reste tende vers zéro , quelque valeur qu'ait 9 entre o et i, il sera prouvé que le reste lui-même diminue indéfiniment^ et la fonction F(x-f-A,jr-|-A) sera développable en série suivant les puissances entières et positives de h et A",
Si dans la formule précédente on fait x =.o, j^ = o , on a le développement de F ( A , i) ^ et si l'on change h et k en X et j, on obtient
de" I x..,n
fi)" 1.2.
Dans toutes les dérivées partielles de F (x, y) on doit lemplacer x etj par o, excepté dans les termes du reste, où ils doivent être remplacés par ôx , Oy. Si ce reste tend vers zéro quand n augmente, F (x, y) peut se développer ^n série indéfinie suivant les puissances de x etj. On a ainsi la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de deux variables 5 et on l'étendrait semblablement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.
Les deux formules (i) et ( 2) peuvent être écrites comme " suit , a , a, , . . . , a„ tendant vers zéro avec h clk:
3io
as* ^
fis ^is
>rA ^
tj
CALCUL DES DÉaiVEES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 3ll
Des maxima et minima des fonctions d'une seule variable.
224. On dit qu une fonction F (x) prend une valeur maximum pour la valeur x^de x^ lorsque x croissant ou décroissant à partir de Xo dans un intervalle dëterminë, quelque petit qu il soit, la fonction F (x) est toujours moindre que F (.ro ) . La valeur de la fonction est minimum lorsque, dans les mêmes circonstances , F {x) est toujours plus grand que F (Xo).
U résulte de là que , pour que x^ donne un maximum ou un minimum pour F (x) , il est nécessaire et suffisant que F (xo -h h) — F (xo) soit constamment négatif ou constamment positif, quel que soit le signe de A , pourvu que sa valeur soit suffisamment petite. Il n'y a de règles générales, pour s'en assurer, que quand F' (x) est continu dans le voisinage de Xq , et c'est le seul cas que nous examinerons.
On aura alors
F (-r. -h //) - F (x„) = // F' (xo -h 0// ).
Lorsque /i tend vers zéro, F' (xo-f-SA) tend vers F'(xo) ^ et si cette dernière valeur n'étai t pas nulle, le second membre changerait de signe avec h : la différence F (xo-f- A ) — F (x© ) ne serai t donc pas de signe constant , quel que fût le signe (le h , et par conséquent F (x) ne serait ni maximum ni minimum, pour X = Xq. Une condition commune au maximum et au minimum est donc F' (x©) = o, et c'est seulement parmi les racines réelles de l'équation F' (x) = o qu'il faut chercher les valeurs de x propres à rendre F (x) maximum ou minimum. La valeur Xo étant ainsi choisie,
3l2 LIVRK II.
on aura
La limite de F'' (tq + Ô/i) est F'^(jro) lorsque h tend vers zéro, et si F'' [x^) n'est pas nul, il est évident que pour toutes les valeurs de h positives ou négatives , comprises dans des limites suffisamment petites, le second membre et, par suite, la différence F (xq -F- ft) — F(.ro) conservent toujours le même signe. La valeur F (xo) est donc maximum ouminimum.EUeest maximum lorsque l'on a F'" (jToXo, et minimum si F''{.roy>o. Mais si par hasard on a F''(xo) = o, on ne peut plus rien conclure, et il faut mettre la différence sous une autre forme. On pourra écrire dans ce cas
et comme A' change de signe avec h , on voit que si F"' [x^ ) n'est pas nul , la différence changerait de signe avec h 5 il n'y aurait donc ni maximum ni minimum.
Mais si F''' (oTo) = o 5 on a
F(.r..4- /*) - F{.ra) = ^-^^F«M^o + 0A),
et il est clair que si l'on a F'^ [x^) •<] o, la différence est constamment négative, et F [xq) sera maximum; tandis que si l'on a F'^ (xo) > o, elle sera constamment positive, et F [xq) sera minimum.
Les mêmes raisonnements étant continués jusqu'à ce que l'on obtienne une dérivée qui ne devienne pas nulle pour x = Xç^^ on arrive à cette conclusion générale, que, pour que Xo rende maximum ou minimum une Jonction dont les dératées sont continues^ il faut que celle l'a-
leur de x annule un nombre impair de dén\^ces consécufii^es, à partir de la première j et lorsque cette condition est remplie y on a un maximum si la dérwée suivante est rendue négativ^e par cette ^valeur de x^ et un minimum si elle est positivée,
La recherche des maxima et iniiiima est ainsi ramenée à la détermination des dérivées d'une fonction d'une seule variable, et des racines réelles d'une équation à une inconnue.
Si cette fonction n'est pas donnée d'une manière explicite, on formera ses dérivées par les règles connues, puis on appliquera la théorie qui vient d'être exposée, et qui est indépendante des moyens h employer pour former ces dérivées. Nouis allons montrer quelle est, dans ce cas, la marche du calcul.
225. Cas des fonctions implicites, — Considérons une fonction liée km — i variables par m — i équations données : soient, pour fixer les idées , les trois équations
P(-^sr, z, tt) = o, F,(^,jr, 3, u)^ o, F,(.r, r, z, u) = o,
M étant la fonction dont il faut trouver le maximum ou le minimum.
En les différentiant , on trouve
(/F (l¥ fly ^/F^ d¥(lu^__
(Le dy <ix dz dx du dx
\d\\ d¥,dy r/F, '/z d}c\dft (i {—7- -f- -7- -p-H -,- — -4--,- -7-— "'
^ dx dy dx dz dx du dx
r/F, ilF^dy dV,dz dF, du __
dx dy dx dz dx du dx '
1 , . /!• . dy dz I
au moyen de ces équations, ou éliminera -j-i -> et la va-
leur de -^ qu'on eu tirera, devra ensuite élre égalée à zéro; ou, plus simplement, on remplacera — par zéro dans ces équations, puis on éliminera ^? — entre les équations
résultantes, qui sont
dx dy dx dz dx *
}dY, dFt dy r/F, dz
^ ' * dx dy dx dz dx *
d?, d¥, rly dF, dz
dx dy dx dz dx
Eliminant — et — » on obtiendra une équation qui , jointe
aux trois autres F = o, Fi = o, Fj = o, déterminera
x,y, z", li.
On difTérentiera de nouveau les équations (i) et l'on
d^ ti obtiendra la valeur de — -; on y substituera les valeurs
trouvées de a:, j^, z, ii, et l'on reconnaîtra au signe de
cette expression , s'il y a maximum ou minimum. Si Ton
d^u avait -,— = o, on chercherait les dérivées suivantes de u
par rapport à a:, et l'on y appliquerait la théorie précédente.
