Pour éliminer -~9 -r- des équations (2), on peut

se servir de la méthode des muhiplicateurs . Pour cela on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés A, ^j et on les ajoutera à la première 5 puis on égalera à zéro les coefficients de -^9 -— . et le terme indépen-

d.v dx *

CALCUL DES DÉalVisS KT DES DI^FF^aEIf TtELLES , KTC. 3l5

dant : ce qui conduit aux trois équations

rfF ,

rfF.

rfx

^ rfF,

rfF ,

rfF,

rfF , rf?

rfF, dz

d'où l'on éliminera X et fx; ce qui conduira, comme on le sait par les théories de T algèbre, à la même équation que

si Ton avait éliminé autrement -=^i —• Ce procédé de calcul a souvent des avantages sur l'autre.

227. Considérons maintenant une fonction de m variables, liées par m — i équations : ce cas renferme le précédent, qui s'en déduit en supposant que la fonction se réduise à l'une des variables. Soient, par exemple, les trois équations

et soit proposé de trouver le maximum de la fonction f(oc^y^ z^ u). Dans ce cas aux équations (i), dans les-

quelles y- ne serait plus zéro , on joindrait la suivante :

^ dfdy tjfdz dfdu dx dy djc dz dx du dx

» j / • I /T • , dy dz du ,.

et de ces quatre équations on éliminerait -3--) -7-, — -• 11 * * ' fix dx dx

en résulterait une équation entre x, j^, z, z/, qui , jointe

AUX équation s don nées, déterminerait ces quatre quantités.

On chercherait ensuite la dérivée seconde dey*(jr, y^, z, u)

3l6 L1VAE II.

tl^ Y iP Z tt' Il

par rapport à x\ elle renfermerait -t~ i -.--, — ^, qui se-

€LJC Ci*Mé cc.iC

ront faciles à trouver au moyen des trois équations (i) ;

et l'on reconnaîtrait, au signe de cette seconde dérivée ,

si la fonction y* (a:,y, r, u) est minimum ou maximum.

On peut remarquer que les équations entre lesquelles

on a à éliminer -7-9-7-^-7- seraient les mêmes si l'on avait dx dx dx

à chercher le maximum de l'une des fonctions F, Fi, F,,

les deux autres étant égales à zéro, ainsi que y.

Des niaxima et minima des fonctions de plusieurs ^variables,

228. On dit qu'une fonction F (j:, y) des deux variables indépendantes x^y acquiert une valeur maximum , pour certaines valeurs, jTo? X05 de x et y, lorsqu'en changeant ces variables en Xo 4- A, Xo -h ^5 ^ et /r étant des quantités arbitraires comprises entre o et des limites positives ou négatives aussi petites que Ton voudra , la fonction est constamment moindre que pour les valeurs Xq^Jq . Si , au contraire, elle était constamment plus grande, on dirait qu'elle est minimum pour ces mêmes valeurs.

D'après cela, la différence

doit être constamment négative, quels que soient les valeurs et les signes des quantités infiniment petites li et A% si F [oc^y) est maximum; et elle doit être constamment positive dans le cas du minimum. De sorte que ce sera un caractère commun au maximum et au minimum, qu'elle soit invariable de signe.

Nous ne considérerons que le cas où la fonction et ses dérivées, jusqu'à Tordre dont on aura besoin, sont continues. Les cas de discontinuité ne donnent pas lieu à des règles générales, et se discuteront suivant la question.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DlFEKEElfTIELLES , ETC. 3ï']

D'après une formule précédente , nous aurons , en désignant par a, oc^ des quantités infiniment petites,

Si -r- et -— - sont différents de zéro , le signe du second dx dy

membre , lorsque A et A tendront vers zéro , finira par être

constamment le même que celui de

dx dy

Or cette expression change de signe si Ton change hexli de signes, sans changer leur grandeur; donc F (j:, ^) ne serait ni maximum ni minimum, et, par conséquent, pour qu'elle puisse être Tun ou l'autre , il est indispensable que l'expression précédente soit nulle; comme A et % sont indépendants l'un de l'autre, on devra avoir

//F dY

dx dy

Si ces conditions sont remplies^ on aura

et si les trois dérivées du second ordre ne sont pas toutes rendues nulles par les valeurs x^y^ le signe du second membre, et par suite de l'accroissement, finira par être le même que celui du trinôme