Soient les équations

(1) I (p(^, X, Zy u, c)=0,

Si l'on considère deux des variables, par exemple x

et y^ comme indépendantes, Zj u, i^ seront des fonctions

de X et de j" déterminées par ces équations. Pour rendre

maximum ou minimum la fonction t^, par exemple, il

faut, d'après la règle donnée précédemment, résoudre

les équations

dv du

dx ^ dy Par suite, on doit avoir

dv ^ àv ^

c'est-à-dire que la différentielle totale de {f doit être nulle.

Si l'on di fie rentie les équations (i) en faisant attention que d\^ = o, il viendra

jLdx-h^dx-^-^dz-^^du=zo, dx dy dz du

(2) [^dx -^-^dY-¥-T-dz -^ -^du = o, ^ dx dy dz du

r/J; d^ d-ij ^ d^ ^

-1 dx -T'-r-dy-^^dz-i- ■y^da = o.

dx dy dz du

Dans ces équations, dx^ dy sont des constantes, et dz^ du sont les différentielles totales de k et de z considérées comme des fonctions de x et de y.

l88 COURS D^AliÀLYSE.

En éliminant dz et du entre les équations (a), on obtiendra une équation de la forme

Pt/jc-f-Qe/j = o,

qui devra être vérifiée, dans le cas du maximum comme dans celui du minimum, par les valeurs correspondantes des variables x et j^. Par suite, puisque dx et dy n'ont aucune dépendance entre elles, il faudra que Ton ait

Les équations (i) et (3) donneront les valeurs chercbées de a:, y^ z, m, v.

Pour savoir si la valeur correspondante de la fonction est maximum ou minimum, il restera à examiner si la dîfTérentielle totale d^ ^ garde toujours le même signe.

197. Ce qu'on vient de dire renferme comme cas particulier la détermination des maximums et des minimums des fonctions de plusieurs variables indépendantes liées entre elles par un certain nombre d'équations.

Ainsi, supposons qu'il s'agisse d'une fonction

Ç=:?[Xy y, Zy tt)

et que l'on ait en outre les relations

ff[x, X, z, II) =o, -^[xy y, 3, u) =0.

On voit que cela revient à changer, dans la question précédente, y* (j:, j^ z, m, v) en F [pc^y^ z^ li) — v^ et à supposer les fonctions ^ et (j/ indépendantes de ^.

EXERCICES

i , Trowfcr la plus courte distance de deux droites dans l'espace, données par leurs équations^

Solution. — Les équations des droites étant

\ X = az~\-py kx = a'z-\-pfy

\y = bz-i~q, \y = à'z-^q\

QUINZIEME LEÇOH. 189

la plus courte distance est

2. Parmi las parallélipfpèdes de même surface, assigner celai qui a le plus grand volume.

Solution . — Le cube.

3. Mener par un point donné la ligne droite la plus courte entre deux courbes données.

Solution. — Les normales aux extrémités de la droite minimum doivent rencontrer au même point la perpendiculaire à cette droite menée par le point donné.

4. Déterminer^ dans une surface du second degré, le plus grand et le plus petit des rayons vecteurs partant du centre,

5. Déterminer dans V espace un point tel, qu^une fonction de ses distances à des points donnés soit un maximum ou un minimum.

Solution. — Si p, p', /?",..., sont les distances en question, et «=/(/?,/?', p",. ..) la fonction qui doit être un maximum ou un minimum, il faudra que le point M reste en équilibre sous l'action

de forces proportionnelles à -r- ? -r-o -7-«> • • • j et dirigées suivant

dp dp^ dp

les droites /?, /?', p",,, . (Annales de Gergonne^ t. XIV, p. 1 18).

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