DA4-E

1/^ + 2 MX/.

Ce binôme ne peut être positif pour toutes les valeurs de / et de A que si M = o , mais d^u pouvant alors être

QHIIÏZIEME LEÇON. l85

mis sous la forme

Af//H j H-I/S

celte différentielle s'annulerait pour la valeur / = o jointe à une infinité d'autres valeurs de k et de A, cas particulier qne nous avons écarté.

Soit donc G différent de o : si l'on fait

Izzzo et n=z — — /- ,

la fonction se réduit à GA*, et comme ce résultat doit être positif pour toutes les valeurs de A, on en déduit que G doit être positif. Âiasi, une seconde condition, nécessaire dans le cas du minimum, est

Maintenant, abstraction faite du preuiier terme, le reste du. polynôme pourra s'écrire

ou

en complétant le carré dans la parenthèse, et posant, pour abréger,

Donc la dllférentielle seconde d^u pourra être mise sous la forme

et l'on reconnaîtra) comme plus haut, que l'on doit avoir

i86 COURS d'analyse.

Ainsi, en général, trois conditions^

sont nécessaires pour quey*(j:, j^, z) soit un minimum. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes; car, si elles sont remplies, l'expression

c'est-à-dire d*u^ sera positive pour toutes les valeurs féelles de A, A et /.

194. Sif{x^j^ z) est un maximum, il faudra, pour les mêmes raisons, que l'on ait

AA2-4-BXM-. .. -+-2FX/<o, ou bien

— AA'— BA^»— . . . — 2FA/>o

pour toutes les valeurs réelles de A, /r, /. On aura donc les conditions nécessaires et suffisantes du maximum, en remplaçant, dans les trois conditions trouvées plus haut, A par — A, B par — B, . . . , F par — F.

195. S'il arrivait que les quotients différentiels A, B, C, D, E, F fussent tous nuls, pour les valeurs de x,j^ et z tirées des équations

du du du

dx ' dy dz

on verrait facilement que tous les quotients différentiels du troisième ordre devraient s'annuler d'eux-mêmes. Mais nous n'irons pas plus loin, parce que les conditions qui, dans le cas du maximum ou du minimum f(x^ y^ ^), doivent alors être remplies par les quotients différentiels du quatrième ordre, deviennent beaucoup trop compliquées.

QDIIïZIÈME LEÇON. I 87

MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS IMPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.