SOUS NORMALE
219. Dans ce système de coordonnées, la sous- tangente est la perpendiculaire OT (Jig* 25, p. 209) menée au rayon vecteur OM par l'origine, et terminée à la tangente MT. La sous-normale ON se mesure sur la même droite, à partir du pôle O, jusqu'à la rencontre delà normale MN au point N. D'après ces définitions, S^ et S„ désignant ces deux droites, on aura
S; = OT = r langfA = — — ,
S„ — ON r^
dr fir
tang/x dQ
DIFFÉRENTIELLE d'uN SECTEUR.
220. Désignons par u (fig> 25, p. 209) un secteur POM, compris entre deux rayons vecteurs OP et OM. Soit MOM' = Am. Prenons l'arc MM' assez petit pour que,, de M»en M', les rayons vecteurs soient constamment croissants ou décroissants. Pour fixer les idées, supposons-les croissants. Décrivons du point M, comme centre, les arcs de cercle MI, M'K, terminés aux rayons vecteurs OM = r et OM' = r' : on aura
OMI<Att<OM'K,
ou bien, comme OMI = -/ ' A0 et OM'R' = ~ r'^M, ' 2 2
-r'AO< Aa< -r'^AG, ou -/'< t~ < -/•"'.
Or, à la limite, r' devient égal à r-, donc
— = — r^, on du :=: " r^d9.
rfô 2 2
221. Ce calcul conduit à une conséquence souvent utile. On a trouvé plus haut (n° 218)
xdy — ydx
et aussi (n° 217)
on aura»donc
dx — ydy
tan
gOMT :
- dr'
xdy
r'dO
xdx-\-ydy rdr Mais, à cause de
on a
x.dx -+- ydy -- rdr;
donc
xdy — ydx r^ r-dQ.
Or -r*d6 est la différentielle du secteur LOM: donc 2 '
cette différentielle est aussi égale à -[xdy — ydx).
On pourrait d'ailleurs obtenir ce résultat de la manière suivante. On a
:! = tango; d où / = —JZ'
X x^ cos'Ô
ou
Or on a
donc
xdy — ydx = é/0.
x^ z= r'cos'G;
— (xdy — ydx) = — r'cTO.
DIFFÉRENTIELLE d'uN ARC DE COURBE.
222. Considérons Tare CM = 5 [Jig» 25, p. 209), el soit MM' = As son accroissement.
DIX-HUITIEMB LEÇON.
Dans le triangle M' MI on à
MM^ smMIIvr lîr~sinMM'r
d'où, à cause de 'MI = arsin - A0,
mw
arc MM'
2/-sin - Aô . n^Tiii/ 2 smMIM
sinMM'I
Aj
et, en passant à la limite,
rdB
ds sinp donc [(217), formules (a)]
— ) d où tls=-. — :
sin f*
De là résulte
ds = v/f/r^ H- r^dB.
rdQ dr
smLt = -— — > cosai=:— -
^ ds ds
223. On arrive encore à la différentielle de l'arc par une transformation de coordonnées; on a
< ds r=: \/dx^ -4- dj^
=z ij{dr cosB — rdBûnBy -h (^rsin^ -hrdBcosB]^^
ou
ds=^dr^-^r^dB^>
APPLICATIONS
224. 1° L'équation d'une ellipse, quand on prend pour Fig. 27. P^le le foyer de droite F et le
grand axe pour axe polaire, est
