I -f- CCOS
De là on tire
dr
epslïïBdB dB (î-f-ecosO)*
{i-\-ecoiBY dr cpsinB '
d'où
COURS B ÀrrALYSE.
rd^ ^..p„ i-f-^cosô
— - =tangFMT=:
dr
e sin 0
2*^ La spirale fr^rchimède.
La courbe part du pôle el louche en ce point Taxe
polaire. Pour la construire, du pôle comme centre avec
Fig. 28. l'uni lé pour rayon, on décrit
un cercle, dont Tare compris entre un rayon vecteur et Taxe polaire a pour longueur 9. En portant cette longueur, multipliée par a, sur le rayon vecteur à partir du centre, on aura un point de la courbe.
Comme r croit îndéGniment avec d, la courbe fait une infinité de révolutions autour du pôle.
On Si dr= add^ d'où
rfô rriQ
langftr^r— z=r
aa d a
dr dr
Ainsi la sous-normale est constante , ce qui offre un
moyen très-simple de construire la tangente.
3° La spirale hyperbolique, ainsi nommée parce que
son équation
rô = û,
est analogue a celle de l'hyperbole ocj = m}.
De l'équation de la courbe on tire r = - : pour 0 = o, on a r =■ 00 ; pour des valeurs très-petites de 6, r est fort
DlX-nUITIÈME LEÇON. 2l5
grand, et diminue à mesure que 9 augmente; pour d = oo ,
on a r= ô. Par conséquent, la courbe fait une infinité de
p. révolutions autour du point O
sans jamais pouvoir l'atteindre; ce point est un point asymplpte.
La courbe a une droite asymplote parallèle à OA; car si, d'un point M pris sur la courbe, on abaisse une perpendiculaire MP sur l'axe polaire, on aura
, rf-k«» • , • ■ sm 0
MP = OM sinG z=z rsmO = a ——- •
Donc, lorsque 6 tend vers o, la distance MP tend vers û,
sinO - lî . .
puisque — — tend vers I uni te.
On a ensuite
nid rO»
8/= — r— =— rô r= — rt.
ar
La sous- tangente est donc constante. Cette propriété offre un moyen commode pour mener la tangente par un point pris sur la courbe.
4® La spirale logarithmique^ dont Téquation est
r:=ao .
En changeant Taxe polaire sans changer le pôle, on peut mettre l'équation sous la forme
En effet, posons a ^ e*, b = e'", alors
21 6 * COt'RS d'analyse.
Soient OA le premier axe polaire, et M un point de la
courbe. Prenons un axe polaire OA', qui fasse avec le premier
un angle AOA' = — • Alors, si
l'équation deviendra
MOA= 0, en posant 6 -4- — = 6',
Considérons donc Téquation r=e'"^ : pour 6 == o, on aura /• ;= i , et si Ton fait croître 6 indéfiniment, r croîtra indéfiniment. Par conséquent, la courbe fera, à partir du point A (Jîg. 3i), pour lequel OA = i, une infinité de révolutions. En donnant à 9 des valeurs négatives, r diminuera indéfiniment; donc la courbe fera encore à partir du point A, mais dans l'autre sens, une infinité de révolutions, en s' approchant toujours du pôle.
On aura rlr= me"^^dd = m/v/ô-, par suite, tang|!Jt= — j
quantité constante. Donc, dans la spirale logarithmique , la tangente fait un angle constant a^ec le rayon vecteur guipasse ' par le point de contact,
La sous-taneenle sera — j et la sous-normale mr.
L'exirémité T de la sous-tangente décrit une spirale égale à la première^ mais située différemment. Soit OT = p, on a
mS
Or, en posant TO A = — &', on aura 0 = 6'
TT
-• Par suite,
et, en prenant un nouvel axe polaire încliné sur le premicr d un angle égal a 9 puis posant
on aura réquation
.me"
qui représente une spirale égale à la première.
L'extrémité de la normale décrit aussi une spirale égale h U première.
DES COORDONNÉES BIPOLAIRES.
225. Dans ce système de coordonnées, la position d'un point sur un plan se détermine parles distances r et r' de ce point à deux points fixes A et B.
Soit/(r, r') = o l'équation de la courbe CM, et proposons-nous de lui mener une tangente au point M.
Considérons, pour cela, la sécante M'MS. Menons MH perpendiculaire à AM'.
Soient
Fit;. 3-2.
MAM' = A9, arcMM' = A j, AMT — a, BMT = 6. On aura
,„,„ M' H M' H arc MM'
cosAM'M = z=z X >
