PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA DÉVELOPPÉE

238. La développée d'une courbe jouît de propriétés générales très -remarquables.

En premier lîeu, les normales à la déi^eloppanie touchent la déi^eloppée aux centres de courbure.

En effet, si Ton prend x pour variable indépendante, et que Ton dîfférentîe l'équation (i), en y regardant j,

-7-9 E et y] comme les fonctions de x, on a ou

OU bien, à cause de Téquation (2),

dy d.c

OU enfin

(4) ii^-^.

Celte dernière relation montre que la tangente à la développée menée par le point K est perpendiculaire à la tangente menée par le point M à la courbe CM. Donc la droite KM est tangente à la développée.

239. Une conséquence immédiate de celte propriété, c'est que la dés^eloppée d^une courbe est le lieu des intersections successiv^es des normales à cette courbe. En effet, considérons les deux normales MK et MjKi qui touchent la développée aux points K et Kj. Soit I le point où elles se coupent : quand Mi se rapproche indéûniment de M, la normale MiKi se rapproche de MK, et l'angle KjIK tend vers deux angles droits. Donc KiK est le plus

a34 couas d'analyse*

grand côté du Irîangle KjIK, et comme ce côté tend vers zéro, il en sera de même de IK. Par conséquent le point I se meut sur la droite fixe MK en se rapprocTiant indéfiniment de K, qu« Ton peut considérer comme le point d'intersection de la normale MK et de la normale infiniment voisine*

240. La différence entre deux rayons de courbme MR et Ml Kl est égale h Varc KiK de la développée , compris entre les deux centres de cow^bure correspondants.

Pour le démontrer, différentions Téquation

en y regardant y^ $, >7 et p comme des fonctions de la variable indépendante x. Il vient ainsi

p^p=(;r— g) [dx — dl) -^ {y — 'n)[dy — d^), OU

p^pz=:é/r x—\^{y—n)— — {x —\)d\-"{y — 'n)d^^

ce qui, d'après l'équation (i) du n** 237, se réduit â

pdp~— [x^li)dli — (y—vi)dYiy

d'où l'on tire, en désignant par o" l'arc FK,

dp Ç — X d^ ^—-y dn dtr p drr p dxr

Mais le second membre est le cosinus de Tangle que la droite MK fait avec la tangente à la développée au point K. Com^ae «cet angle est nul, son cosinus est égal à Tuniié, et Ton a

dp :zz^ d(T*

De cette équation xm condiuit

C désignant une «constante *, on aura de même

donc

YIirGTlkME LfiÇOfC.

p — p,=:<r — flr,t=arcrK — arcFK,=arcKK|.

241. On |.eut aussi concevoir celte propriété comme une conséquence de ce qu^î la développée est le lieu des

ï^»C- 39. intersections successives des normales à la courbe donnée. En effet, remplaçons un petit arc KKj de la développée par sa corde, et supposons que celte ligne prolongée rencontre la courbe en M. La droite KM différera três-peu de la normale KN menée par le point K, et KjM très- peu de la normale K|Nt menée par le point Ki, en sorte qu'on aura, en négligeant des infiniment petits du second oixJre,

C'est eette propriéié de Ja courbe FK qui lui a f^it

donner le nom de développée. -En effet, imaginons un

fil dont une partie soit enroulée sur FK, et dont l'autre

^^5' 'i^' partie, tendue suivant la tan-

igente KiMi, se termine en Mi sur la courbe CM. Je dis que si im déroule ce fil en le tenant toujours tendu, son extrémité - décrira la courbe CM. Car supposons que la partie rectiligne soit maintenant dirigée suivant la tangente KM, et que Textrémité aboutisse au point; G : on a

GK = M,JL, + K,K,

puisque K, K est la partie qui est devenue rectiligne. Mais d'ailleurs on a aussi MK = MiK« + jKiK, OfO aura donc GK = MK et G coïncidera avec le point M sur la courbe CM : donc l'extrémité du fil décrira la courbe CM.

242. Une même courbe PK a une infinité de développanteSy et pour les décrire il suffira d'allonger ou de di-