Comme exemple, proposons-tious d'obtenir le
rajon de courbure MK d'une section conique, en un point quelconque.
Cette courbe rapportée à l'un de ses scyies de iigure et à la tangente au sommet a pour équation
j^ =z ipx 4- ^**.
En différentiant deux fois cette équation, on trouve
dx dy
qx
dx I
et, en mettant pour — sa Tmlcur,
ou enfin
d'^r n^-^'^WÊX A-^*x*
DIX-SEUVfÈME LEÇOif. a3ï
Par suite on a, en valeur absolue,
I li, w \
Le numérateur de p est le cube de la normale MN. En effet, le triangle rectangle MNP donne
— 2 dy^ /
dx-
d'où
Donc
Ainsi, en tout point d^une section conique^ le rayon de courbure est égal au cube de la normale^ div^isé par le carré du demi-paramètre.
Il est, du reste, facile d'obtenir la valeur de p en fonction seulement de l'abscisse du point M. En effet,
dy r'=: 2pa: H- qx^ et y — =zp -h gx;
on a, par suite,
n^=z^px-^<]X* -{-[p-\-qxY=:[q -h q^) x^ -{- ^ pqx -^ 2 px -^ p^ ,
Donc
[('7 -^ Ç^)^ -h ^p (l -h q)jp -h p^Y
COUnS T> ANALYSE .
DÉVELOPPÉES ET ENVELOPPES DE œURBES PLANES.
Développées et développantes des courbes planes. •>- Propriétés générales des développées. — Application à la parabole, à Tellipse, à Thyperbole. — Enveloppe d'une courbe mobile.
DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES.
237. Les coordonnées Ç et y; du centre de courbure correspondant au point M de la courbe CM sont déterminées, comme on l'a vu, par les équations
dx'
Les centres de courbure K, Ki, . . . , forment une nou- ^*e- ^S- velle courbe FF' que Ton ap-
pelle la développée àe la courbe CM, et celle-ci est appelée la déi^eloppante de FF'; nous verrons bientôt la raison de ces dénominations.
Puisque les équations (i) et (2) avec Téquation de la courbe donnée CM
déterminent les coordonnées ^ et vj du centre de courbure K, relatif au point donné M [x^y) de la courbe CM, on aura Téquation du lieu des points K en éliminant X ety entre les équations (i), (2} et (3).
