Appliquons la théorie précédente à la parabole

dont l'équation est

Nous avons trouvé, en désignant par n la normale MN, et par p le rayon de courbure au poînl M,

Si l'on veut expriuier ce rayon en fonction des coordonnées du point M, il faudra différentier deux fois Féquation j^*= 2px^ ce qui donne

de y dx^ j3

Donc on a, en valeur absolue,

^ir'-^p')

VINGTIÈME LEÇOW. ^ij

Pour avoir* réquation de la développée » subslituous les valeurs de -~- et de -;— • dans les équations

dx djcr *

il vient

L'élimination de x et de j^ entre ces équations et celle de la courbe conduit à l'équation de la développée. De la seconde on tire

i-t-î-- — '-+'— - = o d'où r.= — ^-'

yl y1 y% ^2

En mettant cette valeur Je f\ dans la première, on aura

OU

On a donc

d'où et

Donc

y'=[ipxY=V^p[l-p)^.

Si Ton transporte Taxe des ordonnées parallèlement à lui-même jusqu'au point O, tel que AO==p, l'équation

et

S38 ÇOVfkS D'i.MALl[ftB,

prend la fornie plu» simple y*-{ g*'^, ou simplement

Celle courbe a la forme KOL [fig* 4') P- ^^36). Elle est symétrique par rapport à l^axe des abscisses, ce qui était évident à priori, et s'étend à l'infini du côlé des x positifs.

En différen liant, on trouve

dl 1 V 27^

27 /^ sJ^P >J\

Le signe de -— est le même que celui de m , par cônsé-

quent, la courbe est partout convexe vers l'axe des abscisses.

RAYON DE COURBURE ET DÉVELOPPÉE DE l'eLLIPSE.